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Applications de classe Cq
D'après les relations obtenues pour le gradient et la divergence en coordonnées
sphériques, on en déduit que :
1 a ( 2 ag )
1
a 2 g
b.. f(x, y, z) = 2 - a r - a
(r,(), 'ljJ) + 2 . 2 ( ) a e2 (r,(), 'ljJ)
r r
r
r sm'ljJ
1
a (sin('l/J ) ag )
+ r sin( 'l/J ) a'ljJ
-
.
- r
- a'ljJ
(r,(), 'ljJ) ·
Application : comportement de la pression dans un coin
La pression p d'un fluide newtonien, cQ mme par exemple de l'eau, dans un
domaine n c IR 2 est régie par l'équation
Âp = 0 dans n
(20)
à laquelle on adjoint des conditions au bord an du domaine, par exemple (63 )
ap = 0 sur an .
an
Pour résoudre ces équations dans le cas
où le domaine n présente un coin caractérisé par un angle a E]O, 7r[ comme
représenté sur la figure ci-contre, il peut
être utile d'écrire les équations (20)
et (21) en coordonnées polaires, en prenant comme origine le sommet du coin :
p(x, y) = q(r, ()).
()=-a
écoulement
du fluide
Les équations (20) et (21) sont équivalentes aux équations suivantes
(21)
{ : r ( r �� (r, ()) )
+ � �;; (r, ()) = 0 V(r, ()) E]O, +oo[ x] - a, a[
(22)
aq
a e (r,()) = 0
V(r,()) E]O, +oo[x{-a, a}
Afi n de connaître le comportement de la pression au voisinage du coin, déterminons le plus petit réel m > 0 pour lequel il existe une solution de la forme
q(r, ()) = rmcp(()) avec

En utilisant les équations (22) , on en déduit que

{ cp"(()) + m 2 cp(()) = 0 pour () E] - a, a[,
cp' (-a) = 0 et cp' (a) =O.
(23)
<63> La notation /;, représente la dérivée normale, c'est la dérivée directionnelle selon le
vecteur normal sortant à n.