Calcul différentiel
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où 9 1 = f i o , g 2 = f2 o et g3 = f3 o sont les applications coordonnées de
G = F o dans la base canonique (e1, e2, e 3 ). L'application G est de classe Cq
de U' sur (V') et la divergence de F donnée par
.
of i
o h
o h
div F(x, y, z) = """"il (x, y, z ) + """"il (x, y, z) + """"il (x, y, z)
uX
uy
uz
s'exprime à l'aide des dérivées partielles premières de G de la façon suivante :
.
.
o gi
sin( 0) o g1
div F(x, y, z) = cos(O)sm( 'l/J) a;: (r, O, 'ljJ)- r sin('l/J) 8e (r, O, 'ljJ)
1
09 1
.
.
o g 2
+ ;: cos(O)cos('l/J) o 'ljJ
(r, O, 'ljJ) +sm(O)sm('l/J) a;: (r, O, 'ljJ)
(19)
cos( 0)
0
9 2
1 .
0
9 2
+ r sin('ljJ) 8e (r, O, 'ljJ) + ;: sm( O)c os( 'l/J) o 'ljJ
(r, O, 'ljJ)
âg3
1 .
o g3
+cos('ljJ) a;: (r, O, 'ljJ)- ;: sm('l/J) o 'ljJ
(r, O, 'ljJ) .
Cette expression constitue l'expression de la divergence en coordonnées sphériques dans la base canonique (el, e2, e 3 ) de � 3 . Notons 9r , g9 et g,µ les corn•
(62)
posantes de G dans la base des coordonnées sphériques (er , e9, e,µ ). On a
G =gr er + g9 e9 + g,µ e ,µ
=(gr cos(O) sin('l/J) - g9 sin(O) + g,µ cos(O) cos( '!jJ)) e1
+ (gr sin( 0) sin( 'ljJ) + g9 cos( 0) + g,µ sin( 0) cos( 'ljJ)) e2 + (g,. cos( 'ljJ) - g,µ sin( 'ljJ)) e 3.
On en déduit que
gl (r, (), 'ljJ) = 9r (r, 0, 'ljJ) cos(O) sin( 'ljJ) - g9 (r, 0, 'ljJ) sin(O) + g,µ (r, 0, 'ljJ) cos(B) cos( 'ljJ)
g 2 (r, 0, 'ljJ) = gr (r, 8, 'l/J) sin(O) sin('l/J) + g9 (r, 8, 'ljJ) cos(B) + g,µ (r, 0, 'ljJ) sin(B) cos('ljJ)
g3(r, (}, 'l/J) = gr (r, (}, 'l/J) cos('l/J) - g,µ (r,
e
, 'l/J ) sin('l/J)
On peut exprimer les dérivées partielles des applications gl , 9 2 et g3 et par
conséquent obtenir à partir de l'équation (19) l'expression en coordonnées sphériques de la divergence dans la base des coordonnées sphériques :
.
1 o(r 2 gr )
1
o g9
div F(x, y, z) = 2 0 (r, O, 'ljJ) + . ('l/J)
""""il e (r, O, 'ljJ)
r
r
r sm u
+
.1
o(sin('ljJ)g,µ ) (r, O, 'ljJ) .
r sm( 'l/J)
o 'ljJ
On peut déterminer l'expression du laplacien en coordonnées sphériques dans
la base des coordonnées sphériques : pour une application f d'un ouvert V'
de V dans � de classe C 2 on a
6.f(x, y, z) = div ( \7 f(x, y, 'ljJ)) = div ( \7 g(r, 8, 'ljJ)) .
<62> On omet exceptionnellement les variables (r, B, 1/!) pour G, 9r, gq, g,p dans un soucis de
lisibilité.