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Applications de classe Cq
On en déduit l'expression suivante des dérivées partielles de f en fonction des
dérivées partielles de g :
�� (r cos(B) sin{'ljJ), r sin{B) sin{'ljJ), r cos('ljJ)) =
.
og
sin(B) âg
1
âg
cos(B) sm('ljJ) ôr
(r, B, 1/!)- r sin(1/J) âB
(r,B, 1/!) + r cos(B) cos('ljJ) ô'ljJ
(r, B, 'ljJ),
�� (r cos(B) sin('ljJ), r sin(B) sin('ljJ), r cos('ljJ)) =
.
.
ôg
cos(B) âg
1 .
o g
sm(B) sm('ljJ) ôr
(r, B, 1/!) + r sin('ljJ) 00
(r,B, 'ljJ)+ r sm(B) cos('ljJ) o'ljJ
(r, B, 1/J),
�� (r cos(B) sin( 'ljJ ), r sin(B) sin( 'ljJ ), r cos( 1f')) =
a9
1 .
a9
cos('ljJ) o r
(r, B, 'ljJ)- r s m(1/J)
o'ljJ
(r, B,1/!) .
On définit les vecteurs er , ee et e,µ de la façon suivante :
er = cos(B) sin('ljJ) ei + sin(B) sin('ljJ) e2 + cos('ljJ) e3 ,
ee = - sin(B) ei + cos(B) e 2 ,
e,µ = cos(B) cos('ljJ) e1 + sin(B) cos('ljJ) e2 - sin('ljJ) e 3.
On vérifie que (en ee , e,µ) est une base de JR 3 et que cette base est orthonormée.
Elle est appelée base des coordonnées sphériques. Le gradient de f dans cette
base s'exprime sous la forme
a9
1
a9
1 a9
V' J (x, y, z) = or
(r, B, 1/!) er + r sin('ljJ) ôB
(r, B, 1/!) ee + r
o'ljJ
(r, B, 1/!) e 'I/! .
Autrement dit, dans la base des coordonnées sphériques, l'opérateur gradient
s'exprime sous la forme
âg
- 8 (r, B, 1/!)
r
1
âg
\i' f(x, y, z) = r sin('ljJ) oB
(r, B, 'ljJ)
1 âg
r â'ljJ
(r, B, 'ljJ)
On peut, sur le même principe, exprimer l'opérateur divergence en coordonnées
sphériques. Considérons une application F d'un ouvert V' de V dans JR 3 de
classe Cq, q EN * U {oo}. Pour tout (x, y, z) EV ' , il existe un unique triplet
(r,B, 1/!) EU ' = - 1 (V') tel que x = r cos(B) sin('ljJ), y= r sin(B) sin('ljJ), z =
r cos(1/J) et