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Applications de classe Cq
De plus,
Ôg3
- 8 (r, B,z) = O,
r
.
De l'équation (18), on déduit l'expression en coordonnées cylindriques de la
divergence dans la base des coordonnées cylindriques :
.
)
1 Ôgr
Ôgr (
)
1 Ôgo (
)
Ôgz
div F (x,y,z = -:;{):;:' (r, B,z) + 8r r, B,z + -:;.Te r, B,z + 8z (r, B,z) ,
ce que l'on peut encore écrire :
.
1 â(rgr)
1 âgo
Ôgz
div F(x,y,z) = -:;, ---a:;:- (r, B, z) + -:;,ae (r, B,z) + az (r, B,z) .
On peut aussi déterminer l'expression du laplacien en coordonnées cylindriques
dans la base des coordonnées cylindriques : pour une application f d'un ouvert
V' de V dans lR de classe C 2 , on a
6.f(x, y, z) = div (V' f(x, y, z)) = div (V' g(r, e, z)) = div
On en déduit que
Changement de coordonnées en sphérique
La fonction de changement de coordonnées
: (r, B,'lf;) 1--- -7 (r cos(B) sin('l/J) , r sin(B) sin( 1/l) , r cos(1/I))
est un C00-difféomorphisme de l'ensemble U = IR'f_ x ]0, 2rr( x] - rr /2, rr /2( sur
l'ensemble V= JR 3 \ { (x, 0, z) E JR 3
; x � O}.
Considérons une application f définie sur un ouvert V' inclus dans V, à valeurs
dans lR et de classe Cq sur V' avec q EN * U {oo}. Pour tout (x, y,z) EV ' il
existe un unique triplet (r, B,1/1) EU ' = - 1 (V') tel que x = r cos(B) sin(1/I),
y = r sin(B) sin(1/I), z = r cos(1/!) et
f (x, y, z) = f (r cos(B) sin( 1/1 ) , r sin( B) sin( 1/1 ) , r cos( 'l/J)) = g(r, B, 1/1)
où g = f o . L'application g est de classe Cq de U' sur f(V') .