Calcul différentiel
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On peut, sur le même principe, exprimer l'opérateur divergence en coordonnées
cylindriques. Considérons une application F d'un ouvert V' de V dans JR 3 de
classe cq, q EN* u {OO}. Pour tout (x, y, z) E V' il existe un unique couple de
réels (r, B) tel que (r, B,z) EU '= - 1 (V'), x = r cos(B), y = r sin(B) et
F(x, y, z) = (91 (r, B,z) , 9 2 (r, B,z) , 9 3 (r, B, z))
où 91 = fi o , 9 2 = h o et 9 3 = f3 o sont les applications coordonnées de
G = F o dans la base canonique ( e1 , e 2 , e 3) . L'application G est de classe Cq
de U' sur (V') et la divergence de F s'exprime à l'aide des dérivées partielles
premières de G de la façon suivante.
div F(x, y, z) = â fi
â h
â f3
-
8
(x, y, z) + -
8
(x, y, z) + -
8
(x, y, z)
X
y
Z
891
sin(B) 89 1
cos(B)
a; (r, B, z)-r
- De (r, B,z)
(18)
.
89 2
cos( B) 89 2
89 3
+ sm(B)
a; (r, B,z) + -
r
- De (r, B,z) + az (r, B,z).
Cette expression constitue l'expression de la divergence en coordonnées cylindriques dans la base canonique (e1 , e 2 , e 3 ) de IR 3 . Notons 9r , 99 et 9z les applications coordonnées de G dans la base des coordonnées cylindriques (er , eo, ez).
On a
G (r, e, z) = 9r (r, B, z) er + 9o(r, e, z) eo + 9z (r, e, z) ez
= 9r (r, B, z) (cos(B) e 1 + sin(B) e 2 )
+ 9o(r, B, z) ( - sin(B) e1 + cos(B) e 2 ) +gz (r, B,z) e 3
= (gr(r, B,z) cos(B) -go(r, B,z) sin(B)) e 1
+ (9r (r, e, z) sin(B) + 9o (r, e, z) cos(B)) e 2 + 9z (r, e, z) e 3 .
On en déduit que 9 1 (r, B,z) = 9r(r,B, z) cos(B) - 9o(r, B,z) sin(B), que
9 2 (r, B,z) = 9,. (r, B,z) sin(B) +g o(r, B, z) cos(B) et que 9 3 (r, B,z) = 9z (r, B,z) .
On a donc
et
891
Ô9r
.
ôgo
a; (r, e, z) = cos(B)
a; (r, e, z) - sm(B)
a; (r, e, z),
c:;; (r, e, z) = - sin(B) 9r(r, e, z) + cos(B) i; (r, e, z) + cos(B) 9o(r, e, z)
- sin(B) c:;; (r, e, z),
ôg 2
.
Ôgr
ôgo
a; (r, e, z) = sm(B) a; (r, e, z) + cos(B)
a; (r, e, z),
i: (r, e, z) = cos(B) 9r (r, e, z) + sin(B) i; (r, e, z) - sin(B) go (r, e, z)
Ôg9
+ cos(B)
De (r, e, z),
ôgz
8z (r, e, z) =o.