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Applications de classe Cq
Le principe du changement de coordonnées est de traduire toutes les informations connues sur l'application g en informations sur l'application f et inversement. Ainsi, les applications et - 1 étant de classe C00, d'après la
proposition 10.13, pour tout q E NU { oo } , on a
g E Cq (U, IR.) � f E Cq (V, IR.) .
On peut exprimer les dérivées partielles de l'application g en fonction des dérivées partielles de l'application f et inversement. Ainsi, les dérivées partielles
de g s'expriment en fonction des dérivées partielles de f de la manière suivante :
�; (r, e, z) = cos(B) �� (r cos(B), r sin(B), z) + sin(B) �� (r cos(B), r sin(B), z) ,
�� (r, e, z) = -r sin(B) �� (r cos( B), r sin( B), z) + r cos(B) �� (r cos(B), r sin(B) , z ) ,
Ôg
ôf
.
ôz
(r, B,z) = ô z
(r cos(B), r sm(B),z) .
On en déduit l'expression des dérivées partielles de f en fonction des dérivées
partielles de g :
��(rcos(B),rsin(B),z) = cos(B) �;(r,B,z)-� sin(B) ��(r,B,z),
ôf
.
.
Ôg
1
ôg
ôy
(r cos(B), r s m(B), z) = s m(B) ôr
(r, e, z) + -;: cos(B) ôB
(r, e, z),
ôf
.
ôg
ôz
(r cos(B), r sm(B),z) = ôz
(r, B,z) .
Ainsi, on exprime le gradient de f en fonction des dérivées partielles de g dans
la base canonique ( ei , e 2 , e 3 ) de IR. 3 :
\Jf(x,y,z) = �;(r,B,z) (cos(8) e 1 + si11(8) e 2 )
1�
.
�
.
+ -;: 88
(r, B, z) (- s m(8) e 1 + cos(8) e 2 ) + ôz
(r, B, z) e 3 .
Notons er = cos( 8) e 1 + sin(B) e 2 , ee = - sin(8) e 1 + cos(8) e 2 et ez = e 3 . On
vérifie que (er iee , ez ) est une base de IR. 3 et que cette base est orthonormée.
Elle est appelée base des coordonnées cylindriques. Le gradient de f dans cette
base s'exprime sous la forme
Ôg
1 ôg
ôg
'V f(x, y, z) = ôr
(r, 8, z) er + -;: 88
(r, 8, z) ee + ô z
(r, 8, z) ez.
Autrement dit, dans la base des coordonnées cylindriques, l'opérateur gradient
s'exprime sous la forme
\Jf(x, y, z) =
/
ôg
'
ôr
(r, 8, z)
1 Ôg
;: 88
(r,8, z)
ôg
Ôz
(r, e, z)