Calcul différentiel
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On en déduit que 91 (r, 8) = 9r cos(8)-go sin(8) et 9 2 (r, 8) = 9r sin(8)+go cos(8).
On a donc
âg1
âgr
.
âgo
a:;: (r, 8) = cos(B) a:;: (r, B) - s m(B) a:;: (r, 8),
io 1 (r, B) = - sin(B) 9r(r, 8) + cos(B) i; (r, 8) + cos(B) go (r, 8) - sin(B) i; (r, 8) ,
âg2
.
âgr
âgo
a:;: (r, B) = sm(B) a:;: (r, 8) + cos(B) a:;: (r, 8),
i: (r, B) = cos(B) 9r (r, 8) + sin(8) i; (r, 8) - sin(8) go (r, B) + cos(B) i; (r, 8).
On obtient donc en coordonnées polaires l'expression suivante de la divergence
dans la base des coordonnées polaires :
. ( )
1 âgr ( )
âgr ( )
1 âgo ( )
div F x,y = -;.a:;: r, B + 8r r, B + -;. ae r, B
.
1 â(rgr)
1 âge
div F (x, y) = -;. ---a:;:- (r, 8) + -;. ae (r, B).
On peut déterminer l'expression du laplacien en coordonnées polaires dans la
base des coordonnées polaires : pour une application f d'un ouvert V' de V
dans IR de classe C 2 on a
(
âg (r, B) )
t:.. f(x, y) = div (V' f (x, y)) = div (V' g(r, 8)) = div i8 a g
-;.ae
(r, B)
1 â ( Ôg ) 1 â 2 g
D.. f (x, y) = -;. âr
r ôr
(r, B) + r 2 ae 2 (r, 8) .
Changement de coordonnées en cylindrique
La fonction de changement de coordonnées
�: (r, B, z) 1--- -- -7 (r cos(8) , r sin(B), z)
est un C00-difféomorphisme de l'ensemble u = JR+ X JO, 211"[ x!R sur l'ensemble
V = Vi x IR où Vi = IR 2 \ { (x, 0) E IR 2 ; x � 0}.
Considérons une application f définie sur un ouvert V' de V, à valeurs dans IR
et de classe Cq sur V' avec q EN * U {oo}. Pour tout (x,y,z) EV ' , il existe
un unique couple de réels (r, B) tel que (r, B,z) EU '= �- 1 (V') , x = r cos(B),
y = r sin(8) et
f(x,y,z) = f(r cos(B),rsin(B),z) = g(r, B,z)
où g = f o �. L'application g est de classe Cq de U' sur f (V') .