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Applications de classe Cq
Par conséquent, le gradient de f en fonction des dérivées partielles de 9 a pour
expression dans la base canonique ( ei, e 2) de JR 2 :
89
.
18 9
.
'V f(x, y) = âr
(r, O)(cos(O) ei + sm(O) ez) + -;:. âB
(r, 0)(- sm(B) ei + cos(B) e z).
Notons er = cos(B) ei + sin(B) ez et ee = - sin(B) ei + cos(B) e 2 . On vérifie que
(er, ee) est une base de JR 2 et que cette base est orthonormée pour le produit
scalaire usuel. Elle est appelée base des coordonnées polaires . Le gradient de f
dans cette base s'exprime sous la forme
Autrement dit, dans la base des coordonnées polaires, l'opérateur gradient s'exprime sous la forme
( 89 )
âr
(r, B)
'V f(x, y) = 1 89
.
-;:.ae
(r, e )
On peut, sur le même principe, exprimer l'opérateur divergence en coordonnées
polaires. Considérons une application F d'un ouvert V' de V dans JR 2 de classe
Cq, q EN * U {oo}. Pour tout (x, y) EV ' il existe un unique couple (r, B) dans
U' = q, - 1 (V') tel que x = r cos(O), y = r sin(O) et on a
F (x, y) = (/1 (r cos(O), r sin(O)), fz(r cos(O),r sin(B)) ) = (91 (r, B), 9 2 (r, B))
où 9 1 = fi o et 9 2 = fz o sont les applications coordonnées de G = F o
dans la base canonique (e1 , e 2 ) . L'application G est de classe Cq de U' sur

de G de la façon suivante.
.
âfi
âfz
div F (x, y) = âx
(x, y) + 8y
(x, y)
=
(B)
891 ( B) _ sin(B) 891 ( B)
. (B)
89 2 ( B)
cos(B) 89 2 ( B)
cos
âr
r,
r
â e
r, + sm
âr
r, + r ae
r, .
Cette relation constitue l'expression de la divergence en coordonnées polaires
dans la base canonique ( ei , e 2) de JR 2 . Notons 9r et 96 les applications coordonnées de G dans la base des coordonnées polaires ( er, ee) . On a
G (r, B) = 9r (r, B) er + 9e (r, B) ee
= 9r (r, B) (cos(B) ei + sin(B) e 2 ) + 9e (r, B) (- sin(B) ei + cos(B) e 2 )
= (9r (r,B) cos(B) - 99(r, B) sin(B)) e 1 + (9r (r, B) sin(B) + 99(r, B) cos(B)) e 2 .