0
Calcul différentiel
-------------�
a
: " ,
1
' .. .. .. .. '
,
, -
' ()
-�
',
'
.
Fig. 2 Illustration du changement de coordonnées en polaire
667
Considérons un ouvert V' c V et une application f de V' dans lR. de classe Cq
sur V' avec q EN * U {oo}. Pour tout (x,y) EV ' , il existe un unique couple
(r, ()) dans U' = - 1 (V') tel que x = r cos(()) et y = r sin(()) et
f(x, y) = f (r cos(()) , r sin(())) = g (r, ())
où g = f o . L'application g est de classe C9 de U' sur f(V') .
Remarque La fonction est un C00-difféomorphisme de U sur V. On peut
aussi montrer que c'est un C00-difféomorphisme de U' = lR.'f- X l - 7f, 7r[ sur
V' = JR. 2 \ {(x, 0) E JR. 2 ; x :::; O}. Ainsi, si l'application f à laquelle on veut
appliquer le changement de coordonnées n'est pas définie sur un ouvert de V,
mais sur un ouvert de V' alors on pourra encore utiliser le même changement
de coordonnées.
o
Le principe du changement de coordonnées est de traduire toutes les informations connues sur l'application g en informations sur l'application f et inversement. Ainsi, les applications et - 1 étant de classe C00, d'après la
proposition 10.13, pour tout q E NU { oo }, on a
g EC9 (U, JR.) {===} / EC9 (V, JR.) .
On peut exprimer les dérivées partielles de l'application g en fonction des dérivées partielles de l'application f et inversement. Ainsi, les dérivées partielles
de g s'expriment en fonction des dérivées partielles de f de la manière suivante :
�; ( r, ()) = cos(()) �� (r cos(()), r sin(())) + sin(()) �� ( r cos(()) , r sin(()))
et �� (r, ()) = -r sin(()) �� (r cos(()), r sin(())) + r cos(()) �� (r cos(()) , r sin(())).
On en déduit l'expression des dérivées partielles de f en fonction des dérivées
partielles de g :
ôf
.
ôg
sin(()) ôg
ôx
(r cos(()), r sm( ())) = cos(()) ôr
(r, ()) - -
r
-
ô()
(r, ())
et
âf
.
.
ôg
cos(()) ôg
ây
(r cos(()) , r sm(())) = sm((J) âr
(r, ()) + -
r
- ô()
(r, ()) .