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Applications de classe Cq
est un C00-difféomorphisme d'un voisinage Ua de a = ( 1, 1 ) sur f(Ua)· En
remarquant cs9> que l'application f est injective sur l'ouvert U = IR.'.f. x JO, 27r[
et que sur cet ouvert, le jacobien de f ne s'annule pas < G oJ , on établit à l'aide
du théorème d'inversion globale que f est un C00-difféomorphisme de u sur
son image f (U) de façon plus rapide qu'en ayant recours à la définition 10.15
comme dans l'exemple de la p. 663.
D'un point de vue pratique, pour montrer qu'une application f définie sur un
ouvert U de !R n et à valeurs dans un ouvert V de !R n est un Cq-difféomorphisme,
on vérifie que :
- l'application f est de classe Cq sur U,
- le jacobien de f ne s'annule pas sur U,
- l'application f est injective sur U,
- l'image de U par f est l'ouvert V.
Exercice 10.11 Considérons l'application de JR. 3 dans JR 3 définie par
1 - Montrer que f n'est pas un C 1 -difféomorphisme de JR. 3 sur JR 3 .
2 - Montre/6 1 > que f est un C 1 -difféomorphisme de IR+ xJO, 27r[X ]-�, H sur
son image.
10.3. 7 Changements de coordonnées
De nombreux problèmes physiques sont posés dans des domaines qui ne sont
pas «a daptés » aux coordonnées cartésiennes. On utilise alors des «c hangements de coordonnées » pour exprimer mathématiquement ces problèmes dans
des systèmes mieux adaptés où leur résolution s'en trouvera facilitée. Les changements de coordonnées les plus courants sont les changements en coordonnées
polaires, en coordonnées cylindriques et en coordonnées sphériques.
Changement de coordonnées en polaire
La fonction de changement de coordonnées
: ( r, B) 1--- -7 ( r cos( B), r sin( B))
est un C00-difféomorphisme de U sur V où
et
<59> Voir à ce sujet l'exemple de la p. 663.
(G O ) Le jacobien de f en (x1 , x2) a été calculé à la p. 636 ; il vaut .:11 (x1 , x2) = x1 .
< 6 1 > On pourra consulter les exercices 10.4 et 10.7 au cours desquels ont été calculées les
dérivées partielles et le jacobien de l'application f.
Applications de classe Cq
est un C00-difféomorphisme d'un voisinage Ua de a = ( 1, 1 ) sur f(Ua)· En
remarquant cs9> que l'application f est injective sur l'ouvert U = IR.'.f. x JO, 27r[
et que sur cet ouvert, le jacobien de f ne s'annule pas < G oJ , on établit à l'aide
du théorème d'inversion globale que f est un C00-difféomorphisme de u sur
son image f (U) de façon plus rapide qu'en ayant recours à la définition 10.15
comme dans l'exemple de la p. 663.
D'un point de vue pratique, pour montrer qu'une application f définie sur un
ouvert U de !R n et à valeurs dans un ouvert V de !R n est un Cq-difféomorphisme,
on vérifie que :
- l'application f est de classe Cq sur U,
- le jacobien de f ne s'annule pas sur U,
- l'application f est injective sur U,
- l'image de U par f est l'ouvert V.
Exercice 10.11 Considérons l'application de JR. 3 dans JR 3 définie par
1 - Montrer que f n'est pas un C 1 -difféomorphisme de JR. 3 sur JR 3 .
2 - Montre/6 1 > que f est un C 1 -difféomorphisme de IR+ xJO, 27r[X ]-�, H sur
son image.
10.3. 7 Changements de coordonnées
De nombreux problèmes physiques sont posés dans des domaines qui ne sont
pas «a daptés » aux coordonnées cartésiennes. On utilise alors des «c hangements de coordonnées » pour exprimer mathématiquement ces problèmes dans
des systèmes mieux adaptés où leur résolution s'en trouvera facilitée. Les changements de coordonnées les plus courants sont les changements en coordonnées
polaires, en coordonnées cylindriques et en coordonnées sphériques.
Changement de coordonnées en polaire
La fonction de changement de coordonnées
: ( r, B) 1--- -7 ( r cos( B), r sin( B))
est un C00-difféomorphisme de U sur V où
et
<59> Voir à ce sujet l'exemple de la p. 663.
(G O ) Le jacobien de f en (x1 , x2) a été calculé à la p. 636 ; il vaut .:11 (x1 , x2) = x1 .
< 6 1 > On pourra consulter les exercices 10.4 et 10.7 au cours desquels ont été calculées les
dérivées partielles et le jacobien de l'application f.