Calcul différentiel
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D'un point de vue pratique, montrer qu'une application f est un Cq-difféomorphisme à l'aide de la définition n'est en général pas simple. En effet, elle
nécessite d'avoir une expression de la réciproque de f. Celle-ci n'est pas toujours
facile à expliciter. Le théorème suivant, que nous admettrons, permet de savoir
si une application est un Cq-difféomorphisme sans avoir besoin d'exhiber sa
réciproque.
THÉORÈME 10.4 (Théorème d'inversion locale)
Soient U un ouvert de !Rn, f une application de U dans !Rn de classe Cq,
q E N * U { oo } , et a E U. Si le jacobien de f ne s'annule pas en a alors
il existe un voisinage u a de a dans u tel que l'application f soit un cq -
difféomorphisme de Ua sur son image f(Ua)·
Exemple Considérons à nouveau l'application f définie de R 2 dans R 2 par
et le point a = ( 1, 1 ) E IR 2 . L'application f est de classe C 00 sur IR 2 et le
jacobien cs s) de f en a= (1, 1 ) vaut JJ ( l , 1 ) = 1 -f. O. Le jacobien étant non nul,
on peut appliquer le théorème d'inversion locale qui assure l'existence d'un
voisinage Ua de a dans IR 2 sur lequel f est un C 00 -difféomorphisme.
Le théorème d'inversion local permet de déterminer si une application est un
difféomorphisme au voisinage d'un point donné. Le théorème suivant, que nous
admettons également, permet avec une hypothèse supplémentaire de déterminer le voisinage «maximal » sur lequel l'application est un difféomorphisme.
THÉORÈME 10.5 (Théorème d'inversion globale)
Soient U un ouvert de !Rn, q E N* U { oo } et f une app lication de U dans !Rn .
L'application f : U-> f(U) est un Cq-difféomorphisme si et seulement si
1. l'application f est de classe cq sur u,
2. l'app lication f est injective sur U,
3. le jacobien de f ne s'annule pas sur U.
Exemple On peut ainsi compléter l'exemple précédent : on a montré, grâce
au théorème d'inversion locale, que l'application
( & s) Voir le calcul du jacobien de cette application à la p. 636.