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Applications de classe Cq
Cette application est une application de classe C 1 sur IR 2 (chacune des applications coordonnées étant le produit de deux applications de classe C 1 sur JR 2 ).
Le calcul des dérivées partielles de f a été effectué à la p. 630. Remarquons
que pour tout (x1 , x 2 ) E IR 2 , on a f (xi , x 2 ) = f (x1 , X2 + 27r) ce qui prouve que
l'application f n'est pas injective, ce n'est donc pas un C 1 -difféomorphisme.
Par contre, si on restreint l'application f à IR'.f- x [O, 27r[ alors on obtient une application injective. Toutefois cet ensemble n'étant pas un ouvert, on est amené
à considérer son intérieur U = IR'.f_ x JO, 27r[. La fonction f est donc une bijection de U sur V = l (U). On vérifie que V = IR 2 \ {(yi , 0) E IR 2 ; y1 ;.::: : O}.
Pour montrer que / : U --+ V est un C 1 -difféomorphisme en utilisant la définition 10.14, on doit déterminer l'application réciproque 1 - 1 . Pour (x1 , x 2 ) EU
et (Y1 , Y 2 ) E V avec Y1 =/=- 0, on a
(y1 , Y2) = l(x1 , x 2 ) {::: :: :: :} Y1 = x1 cos(x 2 ) et Y2 = x1 sin(x 2 )
{::: :: :: :}
yf +Y� =xi et
y2 = tan(x 2 )
Y1
·
{::: :: :: :}
x1 = (yf + y�)! et X2 = arctan (y 2/ Y1) .
Si y1 = 0 alors on obtient
On en déduit que l'application réciproque de f est donnée par
{ ((Y? + y�) ! , arctan (y 2/Y1) ) si Y1 =/=- 0
l - 1 : (y1 , Y2) E V 1--- --t (y2 ,7r/2)
si Y1 = 0 et Y2 > 0
( - y2 , - 71' /2)
si Y1 = 0 et Y2 < 0
On peut vérifier que cette application 1 - 1 est une application de classe C 1 sur V
ce qui prouve que l'application / est un C 1 -difféomorphisme de U sur V.
À l'instar des C 1 -difféomorphismes, on peut définir les Cq-difféomorphismes : ce
sont les applications bijectives de classe Cq ( q E .N * U {OO}) dont la réciproque
est aussi une application de classe Cq.
DÉFINITION 10.15 Soient U et V deux ouverts de !R n et q E .N * U {oo}.
On dit qu 'une application / de U sur V est un Cq -difféomorphisme si 1 est
bijective et si les applications I et 1 - 1 sqnt de classe Cq .
Remarque Les applications continues (c'est-à-dire de classe c0) bijectives
dont la réciproque est aussi continue sont appelées des homéomorphismes.
L'étude des homéomorphismes est différente de celle que l'on va présenter ici
pour les Cq-difféomorphisme où q E .N * U { oo }. Cette différence résulte principalement de la caractérisation qui sera donnée pour les Cq-difféomorphismes
au théorème 10.4.
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