Calcul différentiel
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2. Le champ magnétique H dans un milieu de perméabilité magnétique µ E IR'.f.
vérifie les « équations de la magnétostatique » :
rot H(x) = 0 et div(µH)(x) =O.
3. Le vecteur vitesse V d'un fluide et la pression p au sein de ce fluide sont
régis au cours du temps par les « équations de Stokes » :
av
Bt (t, x) + \lp (t, x) - 17.0.V(t,x) = 0 et div U(x) = 0,
où 1J E JR+ désigne la viscosité du fluide.
Considérons par exemple une pièce rectangulaire, assimilée au sous-ensemble
de IR 2 défini par P = {(xi, x 2 ) E IR 2 ; 0 � xi � 2 et 0 � x2 � 1} dont
le mur {(xi, x2 ) E IR 2 ; xi = O} est constamment chauffé à 100°C, le mur
{(xi, x2 ) E IR 2 ; xi = 2} est refroidi à 0°C alors que les autres murs, représentés
par les ensembles {(xi, x2 ) E IR 2 ; x2 = O} et {(xi, x2 ) E IR 2 ; x 2 = 1} , sont
supposés isolés thermiquement. La température () de la pièce, que l'on suppose
indépendante du temps, satisfait l'équation de la chaleur stationnaire <5 7 > et les
conditions imposées au bord de la pièce. Elle est solution du « problème aux
dérivées partielle » :
{ .0.B(xi , x 2 ) = 0
B(O, x2 ) = 100,
ô()
- 8 (xi , 0) = 0,
X2
B(2, x2 ) = 0
ô()
-(xi, 1) = 0
ÔX2
pour tout (xi , x 2 ) E P,
pour tout 0 � x 2 � 1,
pour tout 0 � xi � 2 .
Il arrive fréquemment que contrairement à l'exemple précédent, le domaine physique ne soit pas « adapté » aux coordonnées cartésiennes. Par exemple lorsque
le problème de la chaleur est posé dans une boule, ou lorsqu'un fluide satisfaisant aux équations de Stokes s'écoule dans un cylindre. L'outil permettant de
« changer de domaine » est présenté dans la partie suivante.
10.3.6 Théorèmes d'inversion locale et globale
DÉFINITION 10.14 Soient U et V deux ouverts de !Rn . On dit qu 'une application f de U dans V est un c i -difféo morphisme si f est bijective et si les
applications f et 1- i sont de classe c i .
E xemple Considérons l'application f définie de IR 2 dans IR 2 par
(sT) On dit qu'un phénomène est stationnaire lorsqu'on fait l'hypothèse qu'il ne dépend pas
du temps.
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2. Le champ magnétique H dans un milieu de perméabilité magnétique µ E IR'.f.
vérifie les « équations de la magnétostatique » :
rot H(x) = 0 et div(µH)(x) =O.
3. Le vecteur vitesse V d'un fluide et la pression p au sein de ce fluide sont
régis au cours du temps par les « équations de Stokes » :
av
Bt (t, x) + \lp (t, x) - 17.0.V(t,x) = 0 et div U(x) = 0,
où 1J E JR+ désigne la viscosité du fluide.
Considérons par exemple une pièce rectangulaire, assimilée au sous-ensemble
de IR 2 défini par P = {(xi, x 2 ) E IR 2 ; 0 � xi � 2 et 0 � x2 � 1} dont
le mur {(xi, x2 ) E IR 2 ; xi = O} est constamment chauffé à 100°C, le mur
{(xi, x2 ) E IR 2 ; xi = 2} est refroidi à 0°C alors que les autres murs, représentés
par les ensembles {(xi, x2 ) E IR 2 ; x2 = O} et {(xi, x2 ) E IR 2 ; x 2 = 1} , sont
supposés isolés thermiquement. La température () de la pièce, que l'on suppose
indépendante du temps, satisfait l'équation de la chaleur stationnaire <5 7 > et les
conditions imposées au bord de la pièce. Elle est solution du « problème aux
dérivées partielle » :
{ .0.B(xi , x 2 ) = 0
B(O, x2 ) = 100,
ô()
- 8 (xi , 0) = 0,
X2
B(2, x2 ) = 0
ô()
-(xi, 1) = 0
ÔX2
pour tout (xi , x 2 ) E P,
pour tout 0 � x 2 � 1,
pour tout 0 � xi � 2 .
Il arrive fréquemment que contrairement à l'exemple précédent, le domaine physique ne soit pas « adapté » aux coordonnées cartésiennes. Par exemple lorsque
le problème de la chaleur est posé dans une boule, ou lorsqu'un fluide satisfaisant aux équations de Stokes s'écoule dans un cylindre. L'outil permettant de
« changer de domaine » est présenté dans la partie suivante.
10.3.6 Théorèmes d'inversion locale et globale
DÉFINITION 10.14 Soient U et V deux ouverts de !Rn . On dit qu 'une application f de U dans V est un c i -difféo morphisme si f est bijective et si les
applications f et 1- i sont de classe c i .
E xemple Considérons l'application f définie de IR 2 dans IR 2 par
(sT) On dit qu'un phénomène est stationnaire lorsqu'on fait l'hypothèse qu'il ne dépend pas
du temps.