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Applications de classe Cq
Démonstration Pour établir ces relations, nous allons avoir recours aux propriétés suivantes. Si g 1 et g2 sont deux applications différentiables de U dans IR
alors leur produit g 19 2 est aussi une application différentiable sur U et pour
tout k E {1, .. .,n } , on a
De plus, si 91 et 92 sont deux fois différentiable sur U, le produit gi92 est deux
fois différentiable sur U et pour tout k E { 1, ... , n } , on a
Bkk (g 19 2) = 91 Bkk92 + 2 8 kg 1 8 kg2 + g2 Bkk91 .
!:: Notons F 1 , F2 ,. .. , F n les applications coordonnées de F. L'application JF
est une applications de U dans !R
n
dont les applications coordonnées sont f F 1 ,
f F2 ,. .. , f F n . La divergence de JF vaut donc
n
n
n
n
div(JF) = L ak (J F k ) = L (! ak F k + F k akf) = J L ak F k + L F k Bkf .
k=l
k=l
k=l
k=l
La première somme dans la dernière égalité est égale à div F. Quant à la seconde
somme, elle s'interprète comme le « produit scalaire » de F par V' f. On a donc
div(JF) = f div F + F · V' f.
!:: Intéressons-nous à la seconde relation. On a
n
n
6. (19) = L akk U 9) = L (! Bkk9 + 2 ak f akg + 9Bkk f)
k=l
k=l
n
n
n
=! .L:akk9 + 2 .L:akf ak9 + 9 .L:akk f .
k=l
k=l
k=l
La première somme dans la dernière égalité est égale à 6.9 et la dernière somme
vaut 6. f. Quant à la seconde du milieu, elle s'interprète comme le « produit
scalaire » de V' f et de V' 9 . On a donc
6. (f 9) = f 6.9 + 2 V' f . \i'9 + 9 6. f.
La seconde relation de la proposition est démontrée.
D
Les opérateurs introduits dans cette partie permettent d'écrire les équations
régissant de nombreux phénomènes physiques dont voici quelques exemples .
1. La température () dans un corps dépend de la position x E JR. 3 et évolue au
cours du temps t E JR.+ selon l' «équation de la chaleur » :
a e
at
(t, x) - K. 6. 0(t, x) = 0,
où la constante "' E JR.+ est liée à la capacité calorifique du corps.