Calcul différentiel
661
Puisque l'application F est une application de classe C 2 , en utilisant le théorème
de Schwarz, on obtient div 9 est l'application nulle.
D
Remarque La proposition 10.15 est énoncée uniquement pour des applications f et F dont le domaine de définition est un ouvert de JR 3 . Si le domaine
de définition est un ouvert de IR 2 alors la proposition est toujours vraie en prenant cette fois-ci la définition adaptée pour le rotationnel d'une fonction de IR 2
dans IR 2 , voir p. 657.
<>
PROPOSITION 10.16
J( Soit f une application d'un ouvert U de !R n à valeurs dans IR. Si f est deux
fois différentiable sur U alors
b.f = div(\7 !).
J( Soit F une application d'un ouvert V de JR 3 à valeurs dans JR 3 . Si F est
deux fois différentiable sur V alors
rot(rot F) = \7(div F) - b.F.
Démonstration � Puisque f est une application de U dans lR deux fois différentiable, g = \7 f est une application de U c !R n dans !R n un fois différentiable
et sa divergence est bien définie. Les trois applications coordonnées de l'application g sont 91 = .Ê.L a
a , 9 2 � .Ê.L a
a et 93 = .Ê.L a
a et la divergence de g vaut
Xt
X2
X3
� Puisque F est une application de U dans JR 3 deux fois différentiable, div F
est une application de U dans lR une fois différentiable dont le gradient est bien
défini et rot F est une application de U dans JR 3 une fois différentiable dont
le rotationnel est bien défini. En calculant les composantes de rot( rot F) puis
celles de \7(div F), on obtient \7(div F) - rot(rot F) = b.F.
D
Remarque La seconde égalité, faisant intervenir l'opérateur rotationnel, est
aussi vraie pour une application F définie sur un ouvert de IR 2 , à valeurs dans IR 2
et qui est deux fois différentiable, à condition d'utiliser la définition adaptée
pour le rotationnel d'une fonction de IR 2 dans IR 2 .
<>
PROPOSITION 10.17 Soient f, g deux applications d'un ouvert U de !R n à
valeurs dans lR et F une application de U dans !R n . Si f, g et F sont deux
fois différentiable sur U alors :
J< div(JF)=fdivF+ F·\7f,
J( b.(fg) =fb.g + 2\7f · \7g + gb.f.
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Puisque l'application F est une application de classe C 2 , en utilisant le théorème
de Schwarz, on obtient div 9 est l'application nulle.
D
Remarque La proposition 10.15 est énoncée uniquement pour des applications f et F dont le domaine de définition est un ouvert de JR 3 . Si le domaine
de définition est un ouvert de IR 2 alors la proposition est toujours vraie en prenant cette fois-ci la définition adaptée pour le rotationnel d'une fonction de IR 2
dans IR 2 , voir p. 657.
<>
PROPOSITION 10.16
J( Soit f une application d'un ouvert U de !R n à valeurs dans IR. Si f est deux
fois différentiable sur U alors
b.f = div(\7 !).
J( Soit F une application d'un ouvert V de JR 3 à valeurs dans JR 3 . Si F est
deux fois différentiable sur V alors
rot(rot F) = \7(div F) - b.F.
Démonstration � Puisque f est une application de U dans lR deux fois différentiable, g = \7 f est une application de U c !R n dans !R n un fois différentiable
et sa divergence est bien définie. Les trois applications coordonnées de l'application g sont 91 = .Ê.L a
a , 9 2 � .Ê.L a
a et 93 = .Ê.L a
a et la divergence de g vaut
Xt
X2
X3
� Puisque F est une application de U dans JR 3 deux fois différentiable, div F
est une application de U dans lR une fois différentiable dont le gradient est bien
défini et rot F est une application de U dans JR 3 une fois différentiable dont
le rotationnel est bien défini. En calculant les composantes de rot( rot F) puis
celles de \7(div F), on obtient \7(div F) - rot(rot F) = b.F.
D
Remarque La seconde égalité, faisant intervenir l'opérateur rotationnel, est
aussi vraie pour une application F définie sur un ouvert de IR 2 , à valeurs dans IR 2
et qui est deux fois différentiable, à condition d'utiliser la définition adaptée
pour le rotationnel d'une fonction de IR 2 dans IR 2 .
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PROPOSITION 10.17 Soient f, g deux applications d'un ouvert U de !R n à
valeurs dans lR et F une application de U dans !R n . Si f, g et F sont deux
fois différentiable sur U alors :
J< div(JF)=fdivF+ F·\7f,
J( b.(fg) =fb.g + 2\7f · \7g + gb.f.