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Applications de classe Cq
En additionnant ces trois dérivées partielles secondes on en déduit que pour
tout (xi , x 2 ,x3 ) E IR.�
En observant les exemples détaillés dans les pages précédentes, on se rend
compte qu'il existe des liens entre les différents opérateurs introduits auparavant. Ces liens apparents sont en fait le résultat de relations générales existant
entre ces différents opérateurs. Nous allons en donner les principales.
PROPOSITION 10.15 Soient f une application d'un ouvert U de IR. 3 à valeurs
dans lR. et F une application de U dans IR. 3 . Si f et F sont de classe C 2 sur U
alors
X rot(V !) = 0,
X div(rot F) = O.
Démonstration � L'application G = V f étant une application de U dans IR. 3
de classe c i son rotationnel est bien défini sur U. Désignons par 9i , 9 2 et 9 3 les
trois applications coordonnées de G. Le rotationnel de G vaut
8 g3
8 g2
a 2 1
a 2 1
-
-
-
8x 2 8x 3
8x 2 8x 3 8x 3 8X 2
rot G =
8 gi
8 g3
a 2 1
EP f
--=
8x 3 8xi
8x 3 8Xi
ÔXiÔX3
8 g2
89i
a 2 1
a 2 1
-
-
-
8xi
8x 2
8xi 8x 2 ÔX2 8Xi
Puisque l'application f est de classe C 2 sur U, le théorème de Schwarz indique
que
V(i,j) E {1,2, 3}
2
a 2 f
=
ÔXiÔXj
ÔXj ÔXj
.
On en conclut que rot G est l'application nulle.
� Puisque F est une application de U dans JR. 3 de classe C 2 , rot F est une application de U dans IR. 3 de classe c i et sa divergence est bien définie sur U. Notons
Fi , F2 et F 3 les trois applications coordonnées de F et notons
G = rot F. Les trois applications coordonnées de G sont
8F 3 8F 2
9i ---- OX 2
OX3
,
La divergence de g vaut
a 2 Fi
+ --8xi OX 3 8x 2 ÔX3
a 2 F
a 2 F 2
_
_
3 _ + --ÔX2ÔXi
ÔX3ÔXi