Calcul différentiel
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- Comme son nom l'indique, le rotationnel de v a quelque chose à voir avec
une rotation. Il exprime dans quelle mesure, lorsqu'on regarde un petit secteur
du banc de poissons, celui-ci tourne au cours du temps. Le rotationnel de v
en un point est un vecteur dirigé selon l'axe de la rotation que subit le banc
de poissons en ce point au cours de son mouvement, et il est de longueur
proportionnelle à la vitesse de cette rotation.
Terminons cette partie consacrée aux opérateurs différentiels par le laplacien
qui contrairement au gradient, à la divergence et au rotationnel est un opérateur
d'ordre 2, c'est-à-dire un opérateur qui fait intervenir les dérivées partielles
secondes.
DÉFINITION 10.13 Soit f une application d'un ouvert U de IR. n à valeurs
dans JR.P deux fois différentiable en a E U. On appelle laplacien de f en a, le
vecteur de JRP défini par
Remarques
1. Si l'application f est deux fois différentiable sur l'ouvert U de JR n à valeurs
dans JRP alors on définit l'application �f : a E U t---t �f(a) E JR.P appelée le
laplacien de f.
2. L'opérateur laplacien � peut s'exprimer de façon formelle à l'aide de la
notation V' introduite pour noter la gradient. On écrit � = V' · V' : on fait
comme un « produit scalaire » entre le « vecteur » V' et lui-même.
3. Le laplacien d'une application f d'un ouvert U de JR n à valeurs dans lR en
a E U peut aussi être défini comme la trace de la matrice hessienne de f en a;
on a �f(a) = Tr(H1 (a)).
o
Exemple Considérons l'application
1
f: (x 1 ,x 2 ,x 3 ) E lR� i--- --+
E lR.
VXI +X�+ X�
Pour obtenir le laplacien de f, il faut calculer ses dérivées partielles secondes
selon les trois vecteurs de la base canonique de JR. 3 . On a
cse>
â 2 f
1
3xi
1
3xi
âx 2 (xi ' x 2 , x 3 ) = -
(xi + x� + x�) 3 1 2 + (xf + x� + x�) 5 1 2
= - llrll 3 + llrll5 ·
Compte tenu des symétries dans l'expression de f(x 1 , x 2 , x 3 ), on obtient
et
( � G ) Les dérivées partielles premières de cette application ont été calculées p. 656.