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Applications de classe Cq
Il n'existe pas de moyen simple de généraliser la notion de rotationnel à des
fonctions de n variables pour n � 4.
2. Si l'application f est différentiable sur un ouvert U de IR 3 et à valeurs dans IR 3
alors on définit l'application rot f : a E U f--7 rot f(a) E IR 3 appelée le ro tationnel de f.
3. Comme pour la divergence, la notation 'V introduite pour noter la gradient
d'une application fournit un moyen commode pour exprimer le rotationnel .
Formellement, on a rot f = 'V /\ f : on fait comme un « produit vectoriel » entre
le « vecteur » \7 et le « vecteur » dont les composantes sont les applications fi,
h et f3 .
o
Exemple Considérons à nouveau l'application
1
f: (xi,x2 ,x3 ) E IR� .-.-.
-
( 2
2
2 ) 312 (xi,x 2 ,x 3 ) E IR 3 .
X i + X 2 + X 3
La seconde dérivée partielle d'ordre 1 de la première application coordonnée en
(xi , x2 , x3 ) E IR� est donnée par
8fi
3x1 X2
-
8
(xi , x 2 , x 3 ) = ( 2 + 2 + 2 ) 5/ 2 ·
X2
X i X 2 X 3
Par raison de symétrie, on obtient pour tout (i,j) E {1,2, 3} 2 avec i -:f-j
8f i
3XiXj
- 8 . (xi , x 2 , x 3 ) = ( 2 + 2 + . 2 ) 5/ 2 ·
X 1
X i X 2 X 3
On en déduit que rot f(xi,x 2 , x 3 ) = O.
Un moyen de se faire une idée de ce que représente le gradient, la divergence
et le rotationnel est d'imaginer un banc de poissons qui se laisse porter par les
courants marins. Quand un poisson se trouve en un point (xi , x 2 , x 3 ) de l'océan,
il se déplace à la vitesse v(xi , x 2 , x 3 ) du courant à cet endroit. Si nous suivons
la trajectoire d'un poisson en particulier, nous verrons sa vitesse changer au
cours du temps : chaque fois qu'il se trouve en un endroit, il adopte comme
vitesse la valeur du courant à cet endroit. Ce faisant, il se déplace légèrement,
et doit alors prendre pour vitesse la valeur de v au nouveau point où il se
trouve. Si nous observons maintenant le banc d'une façon plus globale, nous
constatons que la densité p des poissons, c'est-à-dire leur nombre par unité de
volume, n'est pas constante.
- Le gradient de p en un point de l'océan est un vecteur dirigé vers l'endroit
où il y a le plus de poissons à côté de ce point. La longueur de ce vecteur
est d'autant plus grande que le nombre de poissons dans cette direction varie
rapidement.
- Les poissons ont tendance à se concentrer à certains endroits, et en revanche
à déserter d'autres endroits. La divergence de v est la quantité qui mesure cette
tendance : les poissons se concentrent aux endroits où la divergence de v est
négative et désertent les endroits où elle est positive. Là où la divergence de v
est nulle, la densité des poissons reste constante.
Applications de classe Cq
Il n'existe pas de moyen simple de généraliser la notion de rotationnel à des
fonctions de n variables pour n � 4.
2. Si l'application f est différentiable sur un ouvert U de IR 3 et à valeurs dans IR 3
alors on définit l'application rot f : a E U f--7 rot f(a) E IR 3 appelée le ro tationnel de f.
3. Comme pour la divergence, la notation 'V introduite pour noter la gradient
d'une application fournit un moyen commode pour exprimer le rotationnel .
Formellement, on a rot f = 'V /\ f : on fait comme un « produit vectoriel » entre
le « vecteur » \7 et le « vecteur » dont les composantes sont les applications fi,
h et f3 .
o
Exemple Considérons à nouveau l'application
1
f: (xi,x2 ,x3 ) E IR� .-.-.
-
( 2
2
2 ) 312 (xi,x 2 ,x 3 ) E IR 3 .
X i + X 2 + X 3
La seconde dérivée partielle d'ordre 1 de la première application coordonnée en
(xi , x2 , x3 ) E IR� est donnée par
8fi
3x1 X2
-
8
(xi , x 2 , x 3 ) = ( 2 + 2 + 2 ) 5/ 2 ·
X2
X i X 2 X 3
Par raison de symétrie, on obtient pour tout (i,j) E {1,2, 3} 2 avec i -:f-j
8f i
3XiXj
- 8 . (xi , x 2 , x 3 ) = ( 2 + 2 + . 2 ) 5/ 2 ·
X 1
X i X 2 X 3
On en déduit que rot f(xi,x 2 , x 3 ) = O.
Un moyen de se faire une idée de ce que représente le gradient, la divergence
et le rotationnel est d'imaginer un banc de poissons qui se laisse porter par les
courants marins. Quand un poisson se trouve en un point (xi , x 2 , x 3 ) de l'océan,
il se déplace à la vitesse v(xi , x 2 , x 3 ) du courant à cet endroit. Si nous suivons
la trajectoire d'un poisson en particulier, nous verrons sa vitesse changer au
cours du temps : chaque fois qu'il se trouve en un endroit, il adopte comme
vitesse la valeur du courant à cet endroit. Ce faisant, il se déplace légèrement,
et doit alors prendre pour vitesse la valeur de v au nouveau point où il se
trouve. Si nous observons maintenant le banc d'une façon plus globale, nous
constatons que la densité p des poissons, c'est-à-dire leur nombre par unité de
volume, n'est pas constante.
- Le gradient de p en un point de l'océan est un vecteur dirigé vers l'endroit
où il y a le plus de poissons à côté de ce point. La longueur de ce vecteur
est d'autant plus grande que le nombre de poissons dans cette direction varie
rapidement.
- Les poissons ont tendance à se concentrer à certains endroits, et en revanche
à déserter d'autres endroits. La divergence de v est la quantité qui mesure cette
tendance : les poissons se concentrent aux endroits où la divergence de v est
négative et désertent les endroits où elle est positive. Là où la divergence de v
est nulle, la densité des poissons reste constante.