Calcul différentiel
657
Exemple Considérons l'application
Notons r = (x1 ,x 2 ,x 3 ) le vecteur «position » ;onadonc f(x1 ,x 2 ,x 3 ) = -r/llrll 3 .
Pour déterminer la divergence de f, on calcule d'abord la dérivée partielle selon
le i - ième vecteur de la base canonique de JR 3 de la i - ième composante de f,
pour i E {1, 2, 3}. La première dérivée partielle de fi vaut
De même, les variables x1 , x 2 et X 3 ayant un rôle symétrique, on obtient
En additionnant ces trois dérivées partielles, on en déduit que la divergence
de f est donnée par
Le troisième opérateur différentiel que nous allons introduire est le rotationnel.
On sera attentif au fait qu'il n'est défini que pour des fonctions de JR 3 dans JR 3 .
DÉFINITION 10.12 Soit f une application d'un ouvert U de JR 3 à valeurs
dans JR 3 , différentiable en a E U. On appelle rotationnel de f en a le vecteur
de IR 3 défini par
rotf(a) =
1a13 (a) _ 8 f2 (a)
'
8x 2
8x 3
8f i (a) _ 8f3 (a)
8x 3
8x1
8 f2 (a) _ 8f 1 (a)
8x1
8x 2
où les app lications fi , f2 et h désignent les trois fo nctions coordonnées de f.
Remarques
1. Le rotationnel défini ici est un opérateur différentiel qui agit uniquement sur
des fonctions de JR 3 dans JR 3 . Il existe néanmoins une définition de rotationnel
pour les applications d'un ouvert U de JR 2 dans JR 2 différentiables qui est défini
en a EU par
8 f2
8fi
rot f (a) = -
8
(a) - -
8
(a) ER
X1
X2