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Applications de classe Cq
Exemple Considérons l'application
Si on note r = (xi, x 2 , x 3 ) le vecteur «position » et ll r ll = J x r + x � + x§ s�
norme euclidienne canonique alors f ( x1, x2 , X 3 ) = 1/ 11 r Il correspond à l'inverse
de la distance du point (x1, x 2 , x 3 ) à l'origine. Pour calculer le gradient de cette
application, on calcule les dérivées partielles selon les trois vecteurs de la base
canonique de JR. 3 . Pour (x1, X2 ,x 3 ) E JR.�, on a
DÉFINITION 10.11 Soit f une application d'un ouvert U de JR. n à valeurs
dans JR. n différentiable en a E U. On appelle divergence de f en a, le réel
.
ôfi
ôf2
Ôf n
div f (a) =
-
8 (a) +
-
8 (a) + · · · + - 8 (a) ,
X1
X2
X n
où les applications fi , f2, . . . , f n désignent les n applications coordonnées
de f.
Remarques
l. La divergence est un opérateur différentiel qui agit uniquement sur les fonctions de JR. n dans JR. n . Autrement dit, il faut que les espaces vectoriels de départ
et d'arrivée aient la même dimension.
2. Si l'application f est différentiable sur l'ouvert U alors on définit l'application
div f : a E U 1--7 div f (a) E lR. appelée la divergence de f.
3. La notation '1 introduite pour noter le gradient d'une application fournit
un moyen commode pour exprimer les opérateurs différentiels, et en particulier
la divergence. Formellement, on a div f = '1 · f : on fait comme un « produit
scalaire » entre le « vecteur » '1 et le « vecteur » dont les composantes sont les
applications Ji, f2, ... , f n ·
4. La divergence d'une application f d'un ouvert U de JR. n à valeurs dans !R n
en a E U peut aussi être définie comme la trace de la matrice jacobienne de f ;
on a div f(a) = Tr(J1(a)).
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