Calcul différentiel
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DÉFINITION 10.10 Soit f une application d'un ouvert U de !R n à valeurs
dans JR, différentiable en a E U. On appelle gradient de f en a, le vecteur
de lR n défini par
\l f(a) =
Remarques
I ô f (a)
Ô X1
o f (a)
O Xn
1. On rencontre parfois la notation gradf (a) au lieu de \1 f(a).
2. Le gradient de f en a n'est rien d'autre que la transposée de la matrice
jacobienne de f en a. D'ailleurs, on utilise parfois la notation \1 f(a) pour des
applications à valeurs dans JRP avec p � 2. Dans ce cas, la définition de ce
«gradient » est donnée par \1f(a) = t J1(a).
3. Si l'application f est différentiable sur l'ouvert U alors on définit l'application
\1 f : a E U t--4 "il f (a) E JR n appelée le gradient de f que l'on note
\l f =
of
Ô X1
ôf
Ô Xn
4. Le symbole \1, qui se lit nabla, tire son nom d'une lyre antique dont la forme
est celle d'un triangle pointant vers le bas. Il contient toutes les informations
sur la différentielle. On peut voir cet opérateur comme un opérateur formel,
vecteur des dérivées partielles :
0
ox 1
\1 =
ô
Ô Xn
Attention, ce «vecteur » n'a rien d'un vecteur classique puisque ces composantes ne sont pas dans un espace que l'on peut décrire dans le cadre de ce
cours. Il ne contient pas de valeurs scalaires, mais on va utiliser ses éléments
constitutifs (que l'on peut voir comme des opérateurs en attente d'argument)
exactement comme on aurait utilisé les valeurs scalaires composant un vecteur.
o