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Applications de classe Cq
Exemple Considérons l'application f de U =] - 1, 1[ 2 dans IR définie par
Cette application est de classe C 00 car c'est le quotient de la fonction
(x1, x2) t-4 1 + x1 qui est de classe C 00 sur U par la fonction
(x1, x2) t-4 ( (1 + x1) 2 + x�) 3 1 2
qui ne s'annule pas sur U et est de classe C 00
sur U. Les deux dérivées partielles de f en (x1, x 2 ) EU sont
â
!(
)
_
2(1 + X1) 2 - X�
1 X1, X2 -
/
((1 + x1) 2 + x�)5 2
Pour évaluer les dérivées partielles secondes, on dérive les dérivées partielles
premières. L'application f étant de classe C 2 sur u, d'après le théorème de
Schwarz pour calculer la dérivée partielle seconde âf 2 f, on peut soit dériver
l'application âif par rapport à x 2 , soit < ssi dériver l'application 82 / par rapport
à x1. On obtient
On en déduit que la matrice hessienne de l'application f en (0, 0) est :
H (O O)
_
( âfi f (O, 0) âfd (O, 0) ) _ ( -6 0 )
f
'
- â�if (O, 0) â� 2 f(O, 0) - 0 3 .
10.3.5 Opérateurs différentiels
La notion de dérivée partielle intervient très fréquemment dans la formulation
mathématique de nombreux phénomènes physiques. Ces formulations relient
souvent les dérivées partielles d'une quantité physique par le biais d'« opérateurs différentiels ». Certains de ces opérateurs (le gradient, la divergence, le
rotationnel et le laplacien) sont présentés dans cette partie.
( ss ) Utiliser les deux méthodes peut être un bon moyen de vérification du calcul effectué.