Calcul différentiel
10.3.4 Cas des applications à valeurs dans IR
653
Comme nous l'avons déjà indiqué, l'étude d'une fonction de IR n dans JRP se
ramène le plus souvent à l'étude de chacune de ses applications coordonnées
qui sont des fonctions à valeurs réelles. Cela justifie l'intérêt particulier porté
à l'étude des fonctions à valeurs réelles.
DÉFINITION 10.9 Soit f une application définie sur un ouvert U de IR n à
valeurs dans IR, supposée deux jois différentiable en a E U. La matrice hessienne <54> de f en a est la matrice de M n (IR) définie par :
a21
ÔX1ÔX1 (
a
)
a21
ÔX1ÔX n (
a
)
H1 (a) =
a21
ÔX n ÔX1 (
a
)
a21
ÔX n ÔX n (
a
)
Remarques
1. On appelle « matrice hessienne » d'une application f de U dans IR la « matrice » dont les éléments sont les applications partielles de f :
a21
a21
âx18x1
ÔX1ÔX n
H1 =
a21
a21
ÔX n ÔX1
ÔX n ÔX n
On sera vigilant au fait que ce tableau n'est pas une matrice au sens défini dans
le Cours de première année car les éléments sont des applications de U dans IR
et l'ensemble des applications de U dans IR n'est pas un corps.
2. Considérons une application f E C2(U, IR) où U est un ouvert de IR n et a E U.
D'après la relation (16) p. 649, la forme bilinéaire d 2 fa a pour matrice dans la
base canonique de IR n , la matrice hessienne de f en a ce qui signifie que pour
tous h = (h1, ... , h n ) E IR n et k = (k i , . . . , k n ) E IR n on a
(17)
3. Le théorème de Schwarz implique que si f est une application de classe C2
sur U alors sa matrice hessienne en a est symétrique pour tout a E U.
o
cs4) HESSE, Ludwig-Otto {1811, Kaliningrad - 1874, Munich) . Hesse travailla essentiellement
sur le développement de la théorie des fonctions algébriques. Il introduisit la matrice
hessienne en 1842 lors de l'étude de courbes quadratiques et cubiques.