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Applications de classe Cq
Étant donné un ouvert U de ]R n , l'ensemble C(U, JRP) des applications continues
de U dans JRP est un espace vectoriel. Pour q E N* U { oo }, l'ensemble Cq(U, JRP)
est un sous-espace vectoriel de C(U, JRP) . Cela se traduit pour les applications
de classe cq par la proposition suivante :
PROPOSITION 10.12 Soient f et g deux applications de classe Cq définie
sur un ouvert U de )R n à valeurs dans JRP et À et µ deux réels. L'application
Àf + µg est une application de classe cq sur u.
Cette proposition, comme les deux suivantes, résulte des propriétés des dérivées
partielles et du lien existant entre la régularité des dérivées partielles d'une
application f et la régularité de l'application f elle-même.
PROPOSITION 10.13 Soient f une application définie sur un ouvert U de )R n
à valeurs dans un ouvert V de JRP, g une application de V à valeurs dans JRm .
Si f est une application de classe Cq sur U et si g une application de classe Cq
sur V alors g o f est une application de classe Cq sur U.
PROPOSITION 10.14 Soient f et g deux applications définies sur un ouvert U de JR n à valeurs dans R
)
J< Si f et g sont deux applications de classe Cq sur U et que g ne s'annule pas
sur u alors le quotient f / g est une application de classe cq sur u.
Remarques
1. La proposition 10.14 permet de prouver que le produit d'applications de
classe Cq à valeurs réelles est une application de classe Cq. Ce résultat est
valide dès que l'espace d'arrivée est muni d'une structure sur laquelle on peut
effectuer un « produit ». Ainsi le produit de deux applications qui sont à valeurs
' (53)
•
dans une algebre et de classe cq est aussi de classe cq.
2. En pratique, on utilise les propositions 10.12, 10.13 et 10.14 pour établir
qu'une application est de classe Cq comme cela est fait pour montrer qu'une
application est continue, voir p. 549. En particulier, c'est à l'aide de ces propositions qu'on établit le plus souvent qu'une application est de classe C 2 afin
d'appliquer le théorème de Schwarz.
o
<5 3 > La définition d'une algèbre est donnée à la p. 544.
Applications de classe Cq
Étant donné un ouvert U de ]R n , l'ensemble C(U, JRP) des applications continues
de U dans JRP est un espace vectoriel. Pour q E N* U { oo }, l'ensemble Cq(U, JRP)
est un sous-espace vectoriel de C(U, JRP) . Cela se traduit pour les applications
de classe cq par la proposition suivante :
PROPOSITION 10.12 Soient f et g deux applications de classe Cq définie
sur un ouvert U de )R n à valeurs dans JRP et À et µ deux réels. L'application
Àf + µg est une application de classe cq sur u.
Cette proposition, comme les deux suivantes, résulte des propriétés des dérivées
partielles et du lien existant entre la régularité des dérivées partielles d'une
application f et la régularité de l'application f elle-même.
PROPOSITION 10.13 Soient f une application définie sur un ouvert U de )R n
à valeurs dans un ouvert V de JRP, g une application de V à valeurs dans JRm .
Si f est une application de classe Cq sur U et si g une application de classe Cq
sur V alors g o f est une application de classe Cq sur U.
PROPOSITION 10.14 Soient f et g deux applications définies sur un ouvert U de JR n à valeurs dans R
)
J< Si f et g sont deux applications de classe Cq sur U et que g ne s'annule pas
sur u alors le quotient f / g est une application de classe cq sur u.
Remarques
1. La proposition 10.14 permet de prouver que le produit d'applications de
classe Cq à valeurs réelles est une application de classe Cq. Ce résultat est
valide dès que l'espace d'arrivée est muni d'une structure sur laquelle on peut
effectuer un « produit ». Ainsi le produit de deux applications qui sont à valeurs
' (53)
•
dans une algebre et de classe cq est aussi de classe cq.
2. En pratique, on utilise les propositions 10.12, 10.13 et 10.14 pour établir
qu'une application est de classe Cq comme cela est fait pour montrer qu'une
application est continue, voir p. 549. En particulier, c'est à l'aide de ces propositions qu'on établit le plus souvent qu'une application est de classe C 2 afin
d'appliquer le théorème de Schwarz.
o
<5 3 > La définition d'une algèbre est donnée à la p. 544.