Calcul différentiel
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Démonst r ation Cette proposition se démontre par récurrence sur l'entier q en
utilisant le théorème 10.2 p. 634. La rédaction du raisonnement par récurrence
peut être effectuée à titre d'exercice.
0
Remarques
1. Considérons une application f d'un ouvert u de Rn dans RP de classe cq
sur U et un élément a de U. On sait (s l ) exprimer la différentielle de f en a à
l'aide des dérivées partielles de f en a :
On sait <5 2 > aussi exprimer la différentielle seconde de f en a à l'aide des dérivées
partielles seconde de f en a :
De même, il est possible d'exprimer la différentielle d'ordre q de f en a à l'aide
des dérivées partielles d'ordre q de f en a :
2. Le théorème de Schwarz se généralise aux applications de classe Cq : si f est
une applicatfon de classe cq alors pour calculer une dérivée partielle d'ordre
inférieure ou égale à q, on peut effectuer les dérivées partielles dans l'ordre que
l'on souhaite.
o
10.3.3 Propriétés des applications de classe Cq
Pour q EN * U { oo }, on note Cq(U, RP) l'ensemble des applications définies sur
l'ouvert u de Rn et à valeurs dans RP qui sont de classe cq. On note aussi
c0(u, RP) ou plus simplement C(U, RP) l'ensemble des applications continues
de U dans RP . Notons que si une application f définie sur un ouvert U de Rn
et à valeurs dans RP est une application de classe Cq avec q � 2, alors elle est
aussi de classe cq- l ; en d'autres termes on a les inclusions suivantes :
(51)" . 1
..
vOlr a propos1t10n 10.9.
(52) .
.
Vell" la relat10n (16) p. 649.