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Applications de classe Cq
THÉORÈME 10.3 (Théorème de Schwarz)
Soient f une application d'un ouvert U de JR. n à valeurs dans JR.P et a E U.
- Si pour ( i, j) E { 1, ... , n } 2 , les deux dérivées partielles secondes
ô 2 f
ô 2 J
et - 8 ô
sont des applications continues en a E U alors
ÔXiÔX j
X j Xi
- Si l'app lication f est de classe C 2 sur U alors
Va EU V(i,j) E {1, ... ,n} 2
ôf
ôf
ÔXiÔX j (
a
)
= ÔX j ÔXi ( a
)
.
Remarques
1. Puisque d'après l'exemple précédent, l'application
si (x1 , x 2 ) =/: (0, 0)
si (x1 , x 2 ) = (0, 0)
ne satisfait pas la conclusion du théorème de Schwarz en (0, 0), il s'ensuit qu'elle
ne vérifie pas les hypothèses de ce théorème. Ainsi, on peut en conclure que au
moins une des deux applications ô f 2 f ou ô ?i f n'est pas continue en (0, 0).
2. Nous verrons qu'il est possible d'établir que les dérivées partielles secondes
sont continues sans les calculer, ce qui justifie l'intérêt du théorème 10.3. o
Exercice 10.10 Considérons l'application f définie sur JR. 2 par
f(
)
{x�s in (x 2/x1 ) lorsque x1 =j:O,
X1, X2 =
0
lorsque x1 = O.
1 - Déterminer les applications ôi f et ô2 f sur JR. 2 .
2 - Calculer ô ii f (O, 0) et ô ? 2 f(O, 0).
Dans le cas d'une application de JR. n dans JR.P, on peut établir qu'elle est de
classe Cq en étudiant la continuité de ces dérivées partielles. Plus précisément,
on a la proposition suivante.
PROPOSITION 10.11 Soit f une application d'un ouvert U de JR. n à valeurs
dans JR.P et q E N* . Si toutes les dérivées partielles d'ordre q de f sont continues sur U alors l'app lication f est une application de classe Cq sur U.