Calcul différentiel
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En utilisant l'expression (14) et la relation (15), la différentielle de g en a, c'està-dire la différentielle seconde de f en a s'exprime < • 9> de la façon suivante :
d 2 fa : (h, k) E Jlr X !R n � t t hikj a:i�X j
(a).
(16)
i=l j=l
Ordre des dérivations : le théorème de Schwarz
Étant donné une application f définie sur un ouvert U de !R n à valeurs dans JRP ,
on peut se demander si pour a E U le vecteur ô[ j f(a) est égal au vecteur
ôJJ(a), autrement dit si l'ordre de la dérivation peut être permuté. La réponse
à cette question est que cette égalité n'a pas lieu sans hypothèse supplémentaire.
Reprenons l'exemple de la p. 647 et considérons l'application de JR 2 dans lR
définie par
si (x 1 , x 2 ) =/:- (0, 0)
si (x 1 , x 2 ) = (0, 0)
Après avoir établi p. 647 que ô�if(O, 0) = - 1, calculons la dérivée partielle ô'f 2 f
en (0, 0). Autrement dit, évaluons la dérivée partielle selon le premier vecteur
de la base canonique de IR 2 en (0, 0) de l'application
cso)
Ô
X 1
2
1 2
_j_ · (x x ) E JR 2 �
1 x 2 + x 2 - (x 2 + x 2 ) 2
{ x 2 - x 2 4x 3 x 2
ô
. 1 , 2
1
2
1
2
X 2
O
On a
si (x 1 , x 2 ) =/:- (0, 0)
si (x 1 , x 2 ) = (0, 0)
lim
ô2f(t, 0) - ô2f(O, 0)
= lim
t - 0
= 1
t-+0
t
t-+0 t
'
et par conséquent 8f 2 f(O, 0) = 1; on en déduit que ô�if (O, 0) =/:- ôfd(O, 0).
Le théorème suivant donne une condition suffisante pour qu'il y ait égalité entre
ô'& f(a) et ôJJ(a). On remarquera que l'application f de l'exemple précédent
ne satisfait pas aux hypothèses du théorème.
< • 9> Via l'identification entre les applications bilinéaires et les applications linéaires à valeurs
dans l'ensemble des applications linéaires donnée par l'isomorphisme (50)
/-!;
Voir l'exemple à la p. 641 pour le calcul de
.
x2