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Applications de classe Cq
On obtient <47 >
8 2 f (
)
_
â /t (
)
_
X� + 9 xf x� - 9 xi x� - X�
â â
X1 , Xz - - 8
X1 , X 2 -
3
·
X 2 X1
X 2
(xf + x� )
Plus généralement, pour ( i, j) E { 1, ... , n } 2 , la i-ième dérivée partielle de l'application -if; au point a E U est notée 8�2Jxi (a) ou encore â'f i f(a). Lorsque
i = j, cette dérivée partielle est notée U(a) ou â'f J (a) .
.
Lien entre dérivées partielles et différentielle d'ordre 2
Rappelons que pour une application f d'un ouvert U de JRn dans JRP, différentiable en a E U, la différentielle de f en a est une application linéaire de JRn
dans JRP qui s'exprime à l'aide des dérivées partielles de f sous la forme <4 8 >
n
dfa : h E IRn f-7 L hi âd(a) E JRP .
i=l
Notons g l'application a E U � df a E .C(JRn , JRP) et supposons que cette
application soit différentiable en a E U ; on a alors
n
dga : k E !Rn f-7 L ki Ôig(a) E .C(JRn , JRP).
(14)
i=l
Pour tout i E { 1, ... , n } , la quantité Ôig( a) est une application linéaire de JR.n
dans JRP qui par définition satisfait
â () l . g(a + tei) - g(a)
·g a = im ---- --'
t--+O
t
'
ol) ei désigne le i - ième vecteur de la base canonique de !Rn. Puisque g(a) = dfa,
pour tout h E !Rn on a g(a)(h) = dfa(h) = I:7 =i hjÔjf(a) de sorte que
g(a + te
;
) - g(a) (h) = t hj âj f (a + te ;
) - Ôjf (a) .
j=l
Lorsque le réel t tend vers 0, chaque fraction de la somme dans le membre de
droite tend vers la dérivée seconde â'f i f(a) ; on a ainsi pour tout i E {1, ... , n}
n
Ôig(a)(h) = L hj âfif (a).
j=l
<47 > Les calculs ont été effectués au cours de l'exercice 10.5 p. 632.
<4 5 > Voir la proposition 10.9 p. 632.
(15)