Calcul différentiel
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DÉFINITION 10.8 Soient f une app lication d'un ouvert U de IR" à valeurs
dans JRP et q un entier naturel non nul.
)( On dit que f est de classe Cq si f est q fo is différentiable et si dq f est
continue.
)( On dit que f est de classe C 00 si elle est de classe cr pour tout r E N * .
10.3.2 Dérivations partielles d'ordre supérieur
Soit f une application d'un ouvert U de IR" à valeurs dans JRP , différentiable
sur U ; elle admet des dérivées partielles sur U et dans le cas où ces dérivées partielles sont elles-mêmes des applications différentiables, on peut calculer leurs
dérivées partielles. On définit ainsi ce que l'on appelle les dérivées partielles
secondes.
Exemple Considérons l'application de JR 2 dans lR définie par
si (x1, x 2 ) -=/:- (0, 0)
si (x1, x2) = (0, 0)
Nous avons établi p. 641 que cette application est différentiable sur IR 2 et que
sa première dérivée partielle d'ordre 1 est
Ô f
2
X2 2 2 + 2 2 2
{ xf - x� 4xfx�
ôxi
:(x1,x2)EIR �
x 1
0
+ x 2 (x 1 + x 2 )
si (x1, x 2) = (0, 0)
Pour calculer la seconde dérivée partielle d'ordre 1 de l'application /t en (0, 0),
on évalue la limite du taux d'accroissement de /t en (0, 0) dans. la direction
du vecteur e2 ; on a
lim /t (O, t )
-
/t (O, 0)
=
lim - t - o
=
- 1 .
t-+0
t
t-+0 t
On en déduit que la seconde dérivée partielle de /t en (0, 0) existe et vaut
aH
Ô âx1 (0, 0) = - 1 .
X2
Cette dérivée partielle est notée ô
8 2
J (0, 0) ou ô?i f(O, 0).
X2 X1
Pour calculer la seconde dérivée partielle d'ordre 1 de l'application 8
8 f en
x ,
(x1, x 2 ) -=/:- (0, 0), on peut avoir recours à la méthode présentée p. 632. On
dérive par rapport à la variable x 2 , la variable x1 étant fixée, la quantité
xf - x�
4xfx�
x 2 xf + x� + (xf + x�) 2 '