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Applications de classe Cq
Cadre général
L'ensemble L'.(!R n , .C(!R n , ll�.P)) auquel appartiennent les applications d 2 fa peut
s'identifier à l'ensemble des applications bilinéaires c4 6 > de !R n x !R n dans JRP, noté
L'.2(1R n , JRP) . Considérons une application bilinéaire x E !R n fixé, l'application y E !R n f-> r.p(x, y) E JRP est une application linéaire
appartenant à l'espace vectoriel L'.(!R n , JRP ) et par conséquent l'application
X E !R n f--- --+ (y f-> r.p(x, y)) E L'.(JR n , JRP)
est une application linéaire appartenant à l'espace vectoriel L'.(!R n , L'.(!R n , JRP) ) .
On peut montrer que l'application
: L'.2 (!R n , JRP)
---+
L'.(!R n , L'.(!R n , JRP))
(X f-> est un isomorphisme d'espace vectoriel. Il permet d'identifier les deux espaces
vectoriels. Ainsi, en général l'application d 2 fa sera identifié à une application
bilinéaire de !R n x !R n dans JRP .
Considérons à nouveau le cas d'une application f définie sur un intervalle ouvert I de lR et à valeurs dans IR, deux fois dérivable sur I (au sens usuel des
fonctions de lR dans IR) . Pour a E I fixé, notons r.p l'application bilinéaire de
lR x lR dans lR définie par
On peut itérer le procédé et définir la différentielle d'ordre q E N * d'une application f en a E U que l'on note dq fa · Cette application est isomorphe à
une application de L'. q (!R n , JRP) , l'espace vectoriel des applications q-linéaires
de (!R n )q dans JRP, c'est-à-dire linéaire en chacune des q variables. Lorsque la
différentielle d'ordre q d'une application f existe, on dit que f est q fois différentiable.
On introduit par ailleurs, la définition suivante.
( 4 6) Rappelons, voir la définition 8.1 p. 438, qu'une application de E x E à valeurs dans F
est dite bilinéaire lorsqu'elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables :
Vy E E x >--> f(x, y) est linéaire et Vx E E y >--> f(x, y) est linéaire.
Applications de classe Cq
Cadre général
L'ensemble L'.(!R n , .C(!R n , ll�.P)) auquel appartiennent les applications d 2 fa peut
s'identifier à l'ensemble des applications bilinéaires c4 6 > de !R n x !R n dans JRP, noté
L'.2(1R n , JRP) . Considérons une application bilinéaire x E !R n fixé, l'application y E !R n f-> r.p(x, y) E JRP est une application linéaire
appartenant à l'espace vectoriel L'.(!R n , JRP ) et par conséquent l'application
X E !R n f--- --+ (y f-> r.p(x, y)) E L'.(JR n , JRP)
est une application linéaire appartenant à l'espace vectoriel L'.(!R n , L'.(!R n , JRP) ) .
On peut montrer que l'application
---+
L'.(!R n , L'.(!R n , JRP))
(X f-> est un isomorphisme d'espace vectoriel. Il permet d'identifier les deux espaces
vectoriels. Ainsi, en général l'application d 2 fa sera identifié à une application
bilinéaire de !R n x !R n dans JRP .
Considérons à nouveau le cas d'une application f définie sur un intervalle ouvert I de lR et à valeurs dans IR, deux fois dérivable sur I (au sens usuel des
fonctions de lR dans IR) . Pour a E I fixé, notons r.p l'application bilinéaire de
lR x lR dans lR définie par
(h f-> J"(a)kh) E L'.(IR, IR) .
Autrement dit, on a
On peut itérer le procédé et définir la différentielle d'ordre q E N * d'une application f en a E U que l'on note dq fa · Cette application est isomorphe à
une application de L'. q (!R n , JRP) , l'espace vectoriel des applications q-linéaires
de (!R n )q dans JRP, c'est-à-dire linéaire en chacune des q variables. Lorsque la
différentielle d'ordre q d'une application f existe, on dit que f est q fois différentiable.
On introduit par ailleurs, la définition suivante.
( 4 6) Rappelons, voir la définition 8.1 p. 438, qu'une application de E x E à valeurs dans F
est dite bilinéaire lorsqu'elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables :
Vy E E x >--> f(x, y) est linéaire et Vx E E y >--> f(x, y) est linéaire.