Calcul différentiel
10.3 Applications de classe cq
10.3.1 Notion de dérivées d'ordre supérieur
645
Soit f une application définie <4 1 > sur un ouvert U de !Rn à valeurs dans JRP .
Si f est une application différentiable sur U alors sa différentielle df est une
application définie sur U et à valeurs dans l'espace vectoriel C(!Rn , JRP) des
applications linéaires de !Rn dans JRP . On peut étudier la différentielle de df
en un point a E U qui si elle existe est notée d 2 fa · Par définition d 2 fa est
une application linéaire continue de !Rn dans C(!Rn, JRP), c'est-à-dire que l'on a
d 2 fa E C(!Rn, C(!Rn,JRP)).
Quelques cas particuliers
� Soit f une application linéaire de !Rn dans JRP . On sait que <4 2 > toute application linéaire est différentiable et que pour tout a E !Rn on a dfa = f. Ainsi,
l'application df est une application constante de !Rn dans C(!Rn , JRP). Or <4 3 > la
différentielle d'une application constante est l'application nulle, par conséquent
pour tout a E !Rn on a d 2 fa = O .
� Soit f une application définie sur un intervalle ouvert I de IR à valeurs
dans IR deux fois dérivable sur I (au sens usuel des fonctions de IR dans IR) .
Cette application f est différentiable <44> en tout point a E I et on a
dfa : h E IR i--+ J' (a) h ER
La différentielle de f est l'application
df : a Eli--+ (h 1-+ J' (a) h) E C(IR, IR).
Calculons la différentielle en a E I de l'application df. Pour (h, k) E IR 2 , on a
dfa+k (h) = f'(a+ k)h. Puisque l'application f est une application de I dans IR
deux fois dérivable sur I, la formule de Taylor-Young c4s> s'écrit
f' (a + k) = J' (a) + J" (a)k + o 0 (k 2 )
de sorte que
dfa+k (h) = J'(a) h + J" (a) kh + oo (k 2 ) h = dfa (h) + J"(a) kh + Oo(k 2 ) h .
Ainsi, pour tout k E IR on a dfa+k = dfa + L(k) + Oo(k 2 ) où l'application L
définie par L: k E IR 1-+ (h 1-+ f" (a)kh) E C(IR, IR) est une application linéaire.
Ceci montre que l'application df est différentiable en a E I et que
d 2 fa : k E IR 1-+ (h 1-+ J"(a) kh) E C(!R, IR) .
<4 • > Nous nous plaçons ici dans le cas d'une application définie sur un ouvert de IR. n mais les
résultats énoncés dans cette partie peuvent se généraliser aux applications définies sur
un ouvert d'un espace vectoriel normé E et â valeurs dans un espace vectoriel normé F.
<4 2 > Voir la proposition 10.5 p. 615.
( 4 3) Voir l'exemple p. 610.
<44> Vo ir la proposition 10.3 p. 614.
<45> Voir le théorème 17.1 p. 778 du Cours de première année.
10.3 Applications de classe cq
10.3.1 Notion de dérivées d'ordre supérieur
645
Soit f une application définie <4 1 > sur un ouvert U de !Rn à valeurs dans JRP .
Si f est une application différentiable sur U alors sa différentielle df est une
application définie sur U et à valeurs dans l'espace vectoriel C(!Rn , JRP) des
applications linéaires de !Rn dans JRP . On peut étudier la différentielle de df
en un point a E U qui si elle existe est notée d 2 fa · Par définition d 2 fa est
une application linéaire continue de !Rn dans C(!Rn, JRP), c'est-à-dire que l'on a
d 2 fa E C(!Rn, C(!Rn,JRP)).
Quelques cas particuliers
� Soit f une application linéaire de !Rn dans JRP . On sait que <4 2 > toute application linéaire est différentiable et que pour tout a E !Rn on a dfa = f. Ainsi,
l'application df est une application constante de !Rn dans C(!Rn , JRP). Or <4 3 > la
différentielle d'une application constante est l'application nulle, par conséquent
pour tout a E !Rn on a d 2 fa = O .
� Soit f une application définie sur un intervalle ouvert I de IR à valeurs
dans IR deux fois dérivable sur I (au sens usuel des fonctions de IR dans IR) .
Cette application f est différentiable <44> en tout point a E I et on a
dfa : h E IR i--+ J' (a) h ER
La différentielle de f est l'application
df : a Eli--+ (h 1-+ J' (a) h) E C(IR, IR).
Calculons la différentielle en a E I de l'application df. Pour (h, k) E IR 2 , on a
dfa+k (h) = f'(a+ k)h. Puisque l'application f est une application de I dans IR
deux fois dérivable sur I, la formule de Taylor-Young c4s> s'écrit
f' (a + k) = J' (a) + J" (a)k + o 0 (k 2 )
de sorte que
dfa+k (h) = J'(a) h + J" (a) kh + oo (k 2 ) h = dfa (h) + J"(a) kh + Oo(k 2 ) h .
Ainsi, pour tout k E IR on a dfa+k = dfa + L(k) + Oo(k 2 ) où l'application L
définie par L: k E IR 1-+ (h 1-+ f" (a)kh) E C(IR, IR) est une application linéaire.
Ceci montre que l'application df est différentiable en a E I et que
d 2 fa : k E IR 1-+ (h 1-+ J"(a) kh) E C(!R, IR) .
<4 • > Nous nous plaçons ici dans le cas d'une application définie sur un ouvert de IR. n mais les
résultats énoncés dans cette partie peuvent se généraliser aux applications définies sur
un ouvert d'un espace vectoriel normé E et â valeurs dans un espace vectoriel normé F.
<4 2 > Voir la proposition 10.5 p. 615.
( 4 3) Voir l'exemple p. 610.
<44> Vo ir la proposition 10.3 p. 614.
<45> Voir le théorème 17.1 p. 778 du Cours de première année.