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Différentiabilité en dimension finie
avec
et que la fonction ê vérifie pour tout (hi , h 2 ) E IR 2
on en déduit que lim ( h i ,h 2 )-+(0,o) ê (hi , h 2 ) = 0 et on peut conclure que f est
différentiable en (a i , 0), de différentielle nulle.
On en conclut que f est différentiable sur IR 2 .
3. Intéressons-nous à la continuité de la seconde dérivée partielle de f qui est
donnée par :
si X2 = 0
Cette application n'est pas continue en un point de la forme (a1 , 0) avec ai =/:- 0
puisque la limite de � (a i , X2) lorsque x 2 tend vers 0 n'existe pas (le terme
2x 2 sin(ai fx 2 ) tend vers 0 lorsque x 2 tend vers 0 mais le terme ai cos(ai f x 2)
n'a pas de limite) . Puisque <4 0 > 1a dérivée seconde de f n'est pas continue sur !R 2 ,
l'application f n'est pas de classe c i sur !R 2 .
Exercice 10.9 Soit f l'application de JR 3 dans IR définie par
Si X 3 =/:- 0,
Si X 3 = 0.
1 - Calculer les trois dérivées partielles de f au point ( 1, 1, 1) .
2 - Montrer que f est différentiable en ce point et calculer sa différentielle.
3 - L'application f est-elle différentiable en (0, 0, 0) ?
< 4 0 > C'est le théorème 10.2, et plus exactement sa contraposée qui nous permet d'affirmer que
si l'une des dérivées partielles n'est pas continue alors l'application n'est pas de classe C 1 .
Différentiabilité en dimension finie
avec
et que la fonction ê vérifie pour tout (hi , h 2 ) E IR 2
on en déduit que lim ( h i ,h 2 )-+(0,o) ê (hi , h 2 ) = 0 et on peut conclure que f est
différentiable en (a i , 0), de différentielle nulle.
On en conclut que f est différentiable sur IR 2 .
3. Intéressons-nous à la continuité de la seconde dérivée partielle de f qui est
donnée par :
si X2 = 0
Cette application n'est pas continue en un point de la forme (a1 , 0) avec ai =/:- 0
puisque la limite de � (a i , X2) lorsque x 2 tend vers 0 n'existe pas (le terme
2x 2 sin(ai fx 2 ) tend vers 0 lorsque x 2 tend vers 0 mais le terme ai cos(ai f x 2)
n'a pas de limite) . Puisque <4 0 > 1a dérivée seconde de f n'est pas continue sur !R 2 ,
l'application f n'est pas de classe c i sur !R 2 .
Exercice 10.9 Soit f l'application de JR 3 dans IR définie par
Si X 3 =/:- 0,
Si X 3 = 0.
1 - Calculer les trois dérivées partielles de f au point ( 1, 1, 1) .
2 - Montrer que f est différentiable en ce point et calculer sa différentielle.
3 - L'application f est-elle différentiable en (0, 0, 0) ?
< 4 0 > C'est le théorème 10.2, et plus exactement sa contraposée qui nous permet d'affirmer que
si l'une des dérivées partielles n'est pas continue alors l'application n'est pas de classe C 1 .