Calcul différentiel
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est différentiable sur JR 2 mais n'est pas de classe c i sur JR 2 .
L'application f est de classe c i sur l'ouvert u = {(xi, x2) E JR 2 ; X2 f. O} car
en restriction à U, f est le produit de l'application (xi, x2) E U f--+ x� qui est
de classe c i sur U et de l'application (xi , x 2 ) E U f--+ sin (xif x2) qui est de
classe c i sur U en tant que composée de l'application (xi, x 2 ) E U f--+ xif x 2
de classe c i sur U (le dénominateur ne s'annulant pas sur U) et de la fonction
siims qui est de classe c i sur R Nous allons prouver successivement que :
1. L'application f est continue sur JR 2 ,
2. L'application f est différentiable sur JR 2 ,
3. L'application f n'est pas de classe c i sur JR 2 .
Comme f est de classe c i sur U, il s'agit d'étudier la continuité, la différentiabilité et la continuité des dérivées partielles sur V = {(xi, O); xi E JR}.
1. Commençons par montrer la continuité de f sur V, c'est-à-dire, étudions
la continuité de f en tous les points de la forme (ai, 0). Pour tout t E lR on
a l sin tl ::;; ltl et par conséquent pour xi E lR et X2 E JR* on a lf(xi,x2) I ::;;
lxix2 I· On en déduit que limc x 1 ,x 2 )_,(a 1 ,o ) J(xi, x 2) = O. Comme f(ai, 0) = 0,
l'application f est continue en tout point de la forme (ai, 0), ai E R
2. Montrons que l'application f admet des dérivées partielles en (ai, 0). Pour
calculer la première dérivée partielle, on forme le taux d'accroissement de f en
(ai, 0) dans la direction ei :
f(ai + t, 0) - f(ai, 0) 0
lll> *
---"'---"-- t ---'----"- = pour t E !A. •
Celui-ci étant constant, sa limite lorsque t tend vers 0 existe (et vaut 0) . De
même, pour calculer la seconde dérivée partielle, on forme le taux d'accroissement de f en (ai, 0) dans la direction e2 :
pour t E JR* .
Comme la fonction sinus est bornée, ce taux d'accroissement admet 0 pour
limite lorsque t tend vers O. On en déduit que les deux dérivées partielles de f
existent en tout point de la forme (ai, 0) et qu'elles valent O.
Montrons maintenant que l'application f est différentiable en (a1, 0) . D'après
la proposition 10.9, si f est différentiable en (ai, 0) alors sa différentielle en
(ai, 0) est donnée par
et coïncide avec l'application nulle. Comme pour tout (hi, h 2 ) E JR 2 on a
(
( ) 2 . ( ai + h1 )
f ai + h1, h2) - f ai,O =h 2 sm
h2
= df (ai,O) (hi, h2) + }hf + h� e(hi, h 2)
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est différentiable sur JR 2 mais n'est pas de classe c i sur JR 2 .
L'application f est de classe c i sur l'ouvert u = {(xi, x2) E JR 2 ; X2 f. O} car
en restriction à U, f est le produit de l'application (xi, x2) E U f--+ x� qui est
de classe c i sur U et de l'application (xi , x 2 ) E U f--+ sin (xif x2) qui est de
classe c i sur U en tant que composée de l'application (xi, x 2 ) E U f--+ xif x 2
de classe c i sur U (le dénominateur ne s'annulant pas sur U) et de la fonction
siims qui est de classe c i sur R Nous allons prouver successivement que :
1. L'application f est continue sur JR 2 ,
2. L'application f est différentiable sur JR 2 ,
3. L'application f n'est pas de classe c i sur JR 2 .
Comme f est de classe c i sur U, il s'agit d'étudier la continuité, la différentiabilité et la continuité des dérivées partielles sur V = {(xi, O); xi E JR}.
1. Commençons par montrer la continuité de f sur V, c'est-à-dire, étudions
la continuité de f en tous les points de la forme (ai, 0). Pour tout t E lR on
a l sin tl ::;; ltl et par conséquent pour xi E lR et X2 E JR* on a lf(xi,x2) I ::;;
lxix2 I· On en déduit que limc x 1 ,x 2 )_,(a 1 ,o ) J(xi, x 2) = O. Comme f(ai, 0) = 0,
l'application f est continue en tout point de la forme (ai, 0), ai E R
2. Montrons que l'application f admet des dérivées partielles en (ai, 0). Pour
calculer la première dérivée partielle, on forme le taux d'accroissement de f en
(ai, 0) dans la direction ei :
f(ai + t, 0) - f(ai, 0) 0
lll> *
---"'---"-- t ---'----"- = pour t E !A. •
Celui-ci étant constant, sa limite lorsque t tend vers 0 existe (et vaut 0) . De
même, pour calculer la seconde dérivée partielle, on forme le taux d'accroissement de f en (ai, 0) dans la direction e2 :
pour t E JR* .
Comme la fonction sinus est bornée, ce taux d'accroissement admet 0 pour
limite lorsque t tend vers O. On en déduit que les deux dérivées partielles de f
existent en tout point de la forme (ai, 0) et qu'elles valent O.
Montrons maintenant que l'application f est différentiable en (a1, 0) . D'après
la proposition 10.9, si f est différentiable en (ai, 0) alors sa différentielle en
(ai, 0) est donnée par
et coïncide avec l'application nulle. Comme pour tout (hi, h 2 ) E JR 2 on a
(
( ) 2 . ( ai + h1 )
f ai + h1, h2) - f ai,O =h 2 sm
h2
= df (ai,O) (hi, h2) + }hf + h� e(hi, h 2)