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Différentiabilité en dimension finie
Ainsi, l'application f admet une dérivée partielle selon le premier vecteur de la
base canonique de R. 2 donnée par
{ xf - x� 4xfx �
ôf
2
x 2 2
2 + 2
2 2 si (xi , x 2 ) -=J (0, 0)
- : (x1 ' x 2 ) E R. 1--- --+
X1 + X 2 (x 1 + X 2 )
ôxi
O
si (x1 , x 2 ) = (0, 0)
Un calcul analogue permet de déterminer la seconde dérivée partielle de f. On a
{ xf - x� 4xrx�
ôf
2
x1 2
2 - 2
2 2 si (x1 , x 2 ) -=J(O, O)
8 : (x1 , x 2 ) E R. 1--- --+
X1 + X 2 (x 1 + X 2 )
x 2
O
si (x1 , x 2 ) = (0, 0)
On en déduit que les matrices jacobiennes de f en (1, 1) et en (0, 0) sont respectivement
JJ ( l ,1)=(1 - 1) et JJ (0, 0) = (0 0).
En utilisant la formule (13), on obtient l'expression de la différentielle de f aux
deux points (1, 1) et (0, 0) ; pour h = (h1 , h 2 ) E R. 2 on a
df (1,1) (h1 , h 2 ) = ( 1 - 1) (��) = h1 - h 2
et
df (o,o) (h1 , h 2 ) = (o o) (��) =O.
On notera l'approche utilisée dans l'exemple précédent pour calculer les
dérivées partielles de f qui est une application définie par un prolongement
par continuité. Pour les points où f est définie par une expression littérale, ici
R.;, on a recours à la méthode présentée p. 632. Pour le point correspondant
au prolongement par continuité, ici (0, 0), on a recours à la définition 10.5.
Comment établir la différentiabilité d'une application de R.n à valeurs dans R?
Nous avons pu constater qu'établir qu'une application était différentiable en
ayant recours à la définition 10.1 n'était pas toujours aisé. Tout comme pour
étudier la dérivabilité des fonctions de R dans R., on peut « décomposer » la
fonction de !Rn dans lR en sommes, produits, quotients ou composées d'applications dont il est plus aisé d'établir la différentiabilité et utiliser les propriétés algébriques présentées à la section 10.1.2. Pour établir la différentiabilité
de cette manière, on a souvent recours au fait que les projections canoniques
(xi , .. . , Xn) E !Rn 1--+ Xi E. IR sont des applications différentiables sur !Rn. Une
approche analogue peut être mise en œuvre pour montrer qu'une application
est de classe C 1 . Nous allons illustrer cette façon de procéder sur un exemple.
Exemple Montrons que l'application f de IR 2 dans lR définie par
Si X2 -=j; 0
Si X2 = 0
Différentiabilité en dimension finie
Ainsi, l'application f admet une dérivée partielle selon le premier vecteur de la
base canonique de R. 2 donnée par
{ xf - x� 4xfx �
ôf
2
x 2 2
2 + 2
2 2 si (xi , x 2 ) -=J (0, 0)
- : (x1 ' x 2 ) E R. 1--- --+
X1 + X 2 (x 1 + X 2 )
ôxi
O
si (x1 , x 2 ) = (0, 0)
Un calcul analogue permet de déterminer la seconde dérivée partielle de f. On a
{ xf - x� 4xrx�
ôf
2
x1 2
2 - 2
2 2 si (x1 , x 2 ) -=J(O, O)
8 : (x1 , x 2 ) E R. 1--- --+
X1 + X 2 (x 1 + X 2 )
x 2
O
si (x1 , x 2 ) = (0, 0)
On en déduit que les matrices jacobiennes de f en (1, 1) et en (0, 0) sont respectivement
JJ ( l ,1)=(1 - 1) et JJ (0, 0) = (0 0).
En utilisant la formule (13), on obtient l'expression de la différentielle de f aux
deux points (1, 1) et (0, 0) ; pour h = (h1 , h 2 ) E R. 2 on a
df (1,1) (h1 , h 2 ) = ( 1 - 1) (��) = h1 - h 2
et
df (o,o) (h1 , h 2 ) = (o o) (��) =O.
On notera l'approche utilisée dans l'exemple précédent pour calculer les
dérivées partielles de f qui est une application définie par un prolongement
par continuité. Pour les points où f est définie par une expression littérale, ici
R.;, on a recours à la méthode présentée p. 632. Pour le point correspondant
au prolongement par continuité, ici (0, 0), on a recours à la définition 10.5.
Comment établir la différentiabilité d'une application de R.n à valeurs dans R?
Nous avons pu constater qu'établir qu'une application était différentiable en
ayant recours à la définition 10.1 n'était pas toujours aisé. Tout comme pour
étudier la dérivabilité des fonctions de R dans R., on peut « décomposer » la
fonction de !Rn dans lR en sommes, produits, quotients ou composées d'applications dont il est plus aisé d'établir la différentiabilité et utiliser les propriétés algébriques présentées à la section 10.1.2. Pour établir la différentiabilité
de cette manière, on a souvent recours au fait que les projections canoniques
(xi , .. . , Xn) E !Rn 1--+ Xi E. IR sont des applications différentiables sur !Rn. Une
approche analogue peut être mise en œuvre pour montrer qu'une application
est de classe C 1 . Nous allons illustrer cette façon de procéder sur un exemple.
Exemple Montrons que l'application f de IR 2 dans lR définie par
Si X2 -=j; 0
Si X2 = 0