Calcul différentiel
641
L'application O. Les deux bateaux
sont donc les plus proches l'un de l'autre au temps t0 = 12/11, la distance entre
les deux bateaux valant alors V'P (12/11) = 8Jîü/11. Si les deux bateaux sont
assimilés à des disques de rayon 1, vont-ils entrer en collision l 3 9l
10.2.4 Cas des applications à valeurs dans lR
Lors du calcul de la différentielle d'une application de JRn dans JRP, on se rend
compte que l'espace de départ JRn et l'espace d'arrivée JRP ont des rôles différents : pour calculer la différentielle d'une application f d'un ouvert U de JRn
à valeurs dans JRP , on est amené à reproduire le même processus calculatoire
pour chaque application coordonnée fi , ... ,f p qui sont des applications à valeurs dans lR.
Considérons une application f définie sur un ouvert U de JRn à valeurs dans JR,
différentiable en a E U. Pour tout h = (h1, ... , h n ) E JRn on a
La matrice jacobienne en a est réduite à une matrice à 1 ligne et n colonnes ;
la relation précédente peut aussi s'écrire
1 df a(h) = J J(a) t h. 1
Exemple Considérons l'application
si (x1, x 2 ) -=1- (0, 0)
si (x1, x 2) = (0, 0)
(13)
et déterminons sa dérivée partielle première. Au voisinage de tout point (x1, x 2 )
autre que l'origine la dérivée partielle de f par rapport à x1 vaut :
âf
xî - x�
4xîx�
- 8 (x1,x 2 ) =x 2 2 2 + ( 2 2 ) 2 ·
X1
X1 + X 2 X1 + X 2
Pour calculer cette dérivée partielle première en (0, 0), utilisons la définition 10.5
et évaluons la limite du taux d'accroissement de f en (0, 0) dans la direction e1 ;
on a
f(t,0) - f(O, O) = 0 - 0 = O.
t
t
c a s) Une application cp d'un ouvert U de IR à valeurs dans IR qui est de classe C 2 admet un
minimum en to E U dès que cp' (to) = 0 et cp" (to) > 0, voir le Cours de première année,
Proposition 16.10, p. 736.
(3 9 ) Non, car BJTii /11 > 2.
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L'application
sont donc les plus proches l'un de l'autre au temps t0 = 12/11, la distance entre
les deux bateaux valant alors V'P (12/11) = 8Jîü/11. Si les deux bateaux sont
assimilés à des disques de rayon 1, vont-ils entrer en collision l 3 9l
10.2.4 Cas des applications à valeurs dans lR
Lors du calcul de la différentielle d'une application de JRn dans JRP, on se rend
compte que l'espace de départ JRn et l'espace d'arrivée JRP ont des rôles différents : pour calculer la différentielle d'une application f d'un ouvert U de JRn
à valeurs dans JRP , on est amené à reproduire le même processus calculatoire
pour chaque application coordonnée fi , ... ,f p qui sont des applications à valeurs dans lR.
Considérons une application f définie sur un ouvert U de JRn à valeurs dans JR,
différentiable en a E U. Pour tout h = (h1, ... , h n ) E JRn on a
La matrice jacobienne en a est réduite à une matrice à 1 ligne et n colonnes ;
la relation précédente peut aussi s'écrire
1 df a(h) = J J(a) t h. 1
Exemple Considérons l'application
si (x1, x 2 ) -=1- (0, 0)
si (x1, x 2) = (0, 0)
(13)
et déterminons sa dérivée partielle première. Au voisinage de tout point (x1, x 2 )
autre que l'origine la dérivée partielle de f par rapport à x1 vaut :
âf
xî - x�
4xîx�
- 8 (x1,x 2 ) =x 2 2 2 + ( 2 2 ) 2 ·
X1
X1 + X 2 X1 + X 2
Pour calculer cette dérivée partielle première en (0, 0), utilisons la définition 10.5
et évaluons la limite du taux d'accroissement de f en (0, 0) dans la direction e1 ;
on a
f(t,0) - f(O, O) = 0 - 0 = O.
t
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c a s) Une application cp d'un ouvert U de IR à valeurs dans IR qui est de classe C 2 admet un
minimum en to E U dès que cp' (to) = 0 et cp" (to) > 0, voir le Cours de première année,
Proposition 16.10, p. 736.
(3 9 ) Non, car BJTii /11 > 2.