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Différentiabilité en dimension finie
Remarque Dans le cas d'une application
sur I et g une application de JRP dans lR différentiable sur JRP , la formule (9)
s'écrit
Vt E I cp' (t) = f� (t) ô1 g(f 1 (t) , . . . , fp (t)) + · · · + J;(t) Ôpg(fi (t) , ... , fp (t)).
0
Exemple Deux bateaux naviguent en ligne droite sur un plan d'eau (assimilé à
un domaine du plan JR. 2 ) . La position (a 1 (t) , a2(t)) du premier bateau à l'instant
t E (0, 2] est donnée par
ai(t) =t+ l et a2(t) = l - 2t,
tandis que la position ( b 1 ( t) , b2 ( t)) du second bateau est donnée à l'instant
t E (0, 2] par
bi(t) =3t + l et b2(t) =t- 3.
Fig. 1 Trajectoires de deux bateaux sur un plan d'eau.
À chaque instant t, le carré de la distance entre les deux bateaux est donné par
cp(t) = g(ai(t) , a2(t) , bi(t) , b2(t)) où g(x 1 ,x2 , yi , y2) = (y 1 - xi) 2 +(y2 - x2) 2 est
le carré de la distance entre les points (x 1 , x2) et (yi , y2) . Afin de déterminer
l'instant où les deux bateaux seront les plus proches, calculons le minimum de
l'application Sa dérivée est donnée par
cp'(t) = a � (t) 8
8 g (a 1 (t) ,a2(t) ,b 1 (t) ,b2(t)) + a � (t) 8
8 g (a 1 (t) ,a2(t) ,b 1 (t) ,b2 (t))
Xi
X 2
+ Vi (t) 8
8 9 (ai (t) , a2(t) , bi (t) , b2(t)) + b� (t) 8
8 9
(ai (t) , a2(t) , bi (t) , b2 (t))
X3
X4
= 11t - 12.
Différentiabilité en dimension finie
Remarque Dans le cas d'une application
sur I et g une application de JRP dans lR différentiable sur JRP , la formule (9)
s'écrit
Vt E I cp' (t) = f� (t) ô1 g(f 1 (t) , . . . , fp (t)) + · · · + J;(t) Ôpg(fi (t) , ... , fp (t)).
0
Exemple Deux bateaux naviguent en ligne droite sur un plan d'eau (assimilé à
un domaine du plan JR. 2 ) . La position (a 1 (t) , a2(t)) du premier bateau à l'instant
t E (0, 2] est donnée par
ai(t) =t+ l et a2(t) = l - 2t,
tandis que la position ( b 1 ( t) , b2 ( t)) du second bateau est donnée à l'instant
t E (0, 2] par
bi(t) =3t + l et b2(t) =t- 3.
Fig. 1 Trajectoires de deux bateaux sur un plan d'eau.
À chaque instant t, le carré de la distance entre les deux bateaux est donné par
cp(t) = g(ai(t) , a2(t) , bi(t) , b2(t)) où g(x 1 ,x2 , yi , y2) = (y 1 - xi) 2 +(y2 - x2) 2 est
le carré de la distance entre les points (x 1 , x2) et (yi , y2) . Afin de déterminer
l'instant où les deux bateaux seront les plus proches, calculons le minimum de
l'application Sa dérivée est donnée par
cp'(t) = a � (t) 8
8 g (a 1 (t) ,a2(t) ,b 1 (t) ,b2(t)) + a � (t) 8
8 g (a 1 (t) ,a2(t) ,b 1 (t) ,b2 (t))
Xi
X 2
+ Vi (t) 8
8 9 (ai (t) , a2(t) , bi (t) , b2(t)) + b� (t) 8
8 9
(ai (t) , a2(t) , bi (t) , b2 (t))
X3
X4
= 11t - 12.