Calcul différentiel
639
Ayant calculé p. 630 les dérivées partielles des applications fi et /2, on obtient
et
Ô Ôg
- 8
(x1 , x 2 ) = cos(x 2 ) -
8
(!1 (x1 ,x 2 ), f2 (x1 ,x 2 ))
X1
XI
+ sin(x 2 ) ô
ôg (!1 (x1 ,x 2 ),f2 (x1 ,x2 )),
X2
Ô .
ô g
-
8
(x1 ,x 2 )=-x1 sm(x 2 )8
(!1 (x1 ,x 2 ),f2 (xi ,x 2 ))
X2
Xt
+ x1 cos(x 2 ) ô
ô g (f1 (x1 ,x 2), h (x1 , x2)).
X2
(11)
(12)
D'après la proposition 10.10, on peut également obtenir les dérivées partielles
de g o f en effectuant le produit matriciel entre la matrice jacobienne de g
en f(x1 ,x 2 ) et la matrice jacobienne de f en (x1 ,x 2 ) (qui a été calculée à la
p. 636). On a
et on retrouve les deux relations (11) et (12).
On se rend compte sur cet exemple de l'ambiguïté de certaines notations lors
de la manipulation des dérivées partielles. Ainsi -/tU1 (x1 ,x 2 ),f2 (x1 ,x 2 ))
doit être compris comme la dérivée partielle de l'application g selon le premier vecteur de la base canonique de � 2 calculée au point
(f1 (x1 ,x 2 ), f2 (x1 ,x 2 )) et non comme la dérivée par rapport à x1 de la quantité g(f1 (xi ,x 2 ),f2 (x1 ,x 2 )). On peut pour cette raison préférer pour un
calcul comme celui-ci noter Ôig les dérivées partielles de g plutôt que Jt.
Exercice 10.8 Soient g une application de � 3 dans �. différentiable
sur � 3 et f l'application
Calculer les dérivées partielles de l'application composée