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Différentiabilité en dimension finie
PROPOSITION 10.10 Soient f une application d'un ouvert U de !R n à valeurs
dans un ouvert V de JRP, et g une app lication de V dans IRq . Si l'application f
est différentiable en a E U et si l'application g est différentiable en b = f (a)
alors l'application go f est différentiable en a et on a
J901 (a) = J9(b) x J1(a) .
(10)
Démonstration Notons cp = g o f. Comme f est différentiable en a E U et
que g est différentiable en b = f (a) , d'après la proposition 10.6 l'application cp
est différentiable en a.
Le produit C de la matrice J9 (b) E M p
,
q
(IR) par la matrice J1(a) E M n
, p (IR)
est une matrice appartenant à M n
,
q (IR) . Les coefficients de C sont
p
p
C ij = L (J9 (b)) ik (J1(a)) k j = L Ô k g i (b) Ô jf k (a) .
k=l
k=l
D'après la relation (9), ce terme est égal à Ô j(g o f) i (a). On a donc pour tous
i E {1, ... ,p} et j E {1, ... , q} la relation (J901(a)) i j = ô i (g o f) i (a) , ce qui
permet de conclure que J901 (a) = J9 (b) x J1(a) .
0
Exemple Soient g une application de JR 2 dans IR, différentiable sur JR 2 et
f: (x1 , x 2 ) E IR 2 1---+ (x1 cos(x 2 ),x1 sin(x 2 )) E IR 2 . Intéressons-nous au calcul
des dérivées partielles de l'application composée cp = go f. Puisque les applications g et f sont toutes les deux différentiables < 3 7 > , d'après la proposition 10.6, la
composée cp = go f est différentiable sur IR 2 . Nous allons donner deux méthodes
permettant de calculer les dérivées partielles de l'application cp, la première en
utilisant la formule (9) et la seconde utilisant la proposition 10.10. Dans les
deux cas, on notera fi et h les deux fonctions coordonnées de l'application f
de sorte que
En utilisant la formule (9), on a
et
Ô cp
âfi
ô g
-
8
(x1 , x 2 ) = -
8
(x1 , x 2 ) -
8
(f1 (x1 ,x 2 ),h (xi ,x 2 ))
X1
Xt
Xt
ôh
Ô g
+8
(xi , x 2 ) -
8
(f1 (x1 , x 2 ),f2 (x1 ,x 2 )),
X1
X2
< 3 7 > L'application f a déjà été étudiée p. 630 et p. 636.