Calcul différentiel
637
JACOBI, Carl-Gustav- Jakob (1804, Postdam - 1851, Berlin) .
On doit à Jacobi des découvertes majeures en théorie des
nombres (il a calculé notamment le nombre de façon de décomposer un entier en somme de quatre carrés). En même temps
qu'Abel, mais indépendamment, il a établi des résultats fondamentaux concernant les fonctions elliptiques. En mécanique, il
a prolongé des travaux d'Euler concernant le problème des trois
corps
c34> . Il est surtout resté célèbre pour son étude systématique
des déterminants, dans un mémoire intitulé De determinantibus
fu nctionalibus paru en 1841 .
Exercice 10. 7 Déterminer la matrice jacobienne ainsi que le jacobien de
l' l" . (35)
app 1cat1on
Considérons une fonction f de R n dans RP, différentiable en a E R n et une fonction g de RP dans Rq, différentiable en b = f (a) . Les applications coordonnées
(go f)i , i E {1, ... , q}, de la fonction go f sont des fonctions à valeurs dans R
dont les dérivées partielles se calculent en utilisant les règles de calcul de la dérivée
<36>
de fonctions de R dans R Pour tout couple ( i, j) E { 1, ... , q} x { l, . . . , n},
on a
p
p
Oj (g o f)i (a) = L okgi (f (a)) x Ôj fk (a) = L Ôk gi (b) x Ôj fk (a) , (9)
k=l
où les fonctions fi, i E { 1, . . . , p} et g j , j E { 1, ... , q} correspondent aux
applications coordonnées de f et g respectivement. La relation (9) peut s'interpréter matriciellement en utilisant les matrices jacobiennes des applications
f, g et f o g.
<32> Dans le Cours de première année, on a défini des matrices â coefficients dans un corps.
<33> Cette application intervient dans le changement en coordonnées polaires, voir p. 666.
(34) Le problème des 3 corps peut s'énoncer sous la forme suivante : on considère trois corps
massiques placés dans l'espace JR.3 (on peut penser â des planètes). Ces trois corps sont
en interaction gravitationnelle les uns avec les autres : chacun de ces corps attire les deux
autres selon une loi énoncée par Newton - la loi de la gravitation universelle. Comment
déterminer les trajectoires suivies par ces trois corps ?
(35) Cette application intervient dans le changement de coordonnées sphériques, voir p. 672.
<35> Si f et g sont deux applications de lR dans lR dérivables alors on a (g o !)' = (g' of) x !'.
637
JACOBI, Carl-Gustav- Jakob (1804, Postdam - 1851, Berlin) .
On doit à Jacobi des découvertes majeures en théorie des
nombres (il a calculé notamment le nombre de façon de décomposer un entier en somme de quatre carrés). En même temps
qu'Abel, mais indépendamment, il a établi des résultats fondamentaux concernant les fonctions elliptiques. En mécanique, il
a prolongé des travaux d'Euler concernant le problème des trois
corps
c34> . Il est surtout resté célèbre pour son étude systématique
des déterminants, dans un mémoire intitulé De determinantibus
fu nctionalibus paru en 1841 .
Exercice 10. 7 Déterminer la matrice jacobienne ainsi que le jacobien de
l' l" . (35)
app 1cat1on
Considérons une fonction f de R n dans RP, différentiable en a E R n et une fonction g de RP dans Rq, différentiable en b = f (a) . Les applications coordonnées
(go f)i , i E {1, ... , q}, de la fonction go f sont des fonctions à valeurs dans R
dont les dérivées partielles se calculent en utilisant les règles de calcul de la dérivée
<36>
de fonctions de R dans R Pour tout couple ( i, j) E { 1, ... , q} x { l, . . . , n},
on a
p
p
Oj (g o f)i (a) = L okgi (f (a)) x Ôj fk (a) = L Ôk gi (b) x Ôj fk (a) , (9)
k=l
où les fonctions fi, i E { 1, . . . , p} et g j , j E { 1, ... , q} correspondent aux
applications coordonnées de f et g respectivement. La relation (9) peut s'interpréter matriciellement en utilisant les matrices jacobiennes des applications
f, g et f o g.
<32> Dans le Cours de première année, on a défini des matrices â coefficients dans un corps.
<33> Cette application intervient dans le changement en coordonnées polaires, voir p. 666.
(34) Le problème des 3 corps peut s'énoncer sous la forme suivante : on considère trois corps
massiques placés dans l'espace JR.3 (on peut penser â des planètes). Ces trois corps sont
en interaction gravitationnelle les uns avec les autres : chacun de ces corps attire les deux
autres selon une loi énoncée par Newton - la loi de la gravitation universelle. Comment
déterminer les trajectoires suivies par ces trois corps ?
(35) Cette application intervient dans le changement de coordonnées sphériques, voir p. 672.
<35> Si f et g sont deux applications de lR dans lR dérivables alors on a (g o !)' = (g' of) x !'.