636
Différentiabilité en dimension finie
DÉFINITION 10.7 Soit f une application d'un ouvert U de R n à valeurs
dans RP, différentiable en a E U. La matrice jacobienne de f en a est la
matrice de Mn , p (R) définie par
(8 fi
(a)
8x1
J1 (a) =
:
8fp (a)
8x1
8fp (a)
8x 2
8 fi (a)
l
8 xn
.
.
8fp (a)
8xn
Lorsque n = p, on appelle jacobien de f en a le déterminant de la matrice
jacobienne de f en a: .7 1 (a) = det( J1 (a)).
Remarque On appelle encore matrice jacobienne d'une application f d'un
ouvert U de R n à valeurs dans RP différentiable, la « matrice » dont les éléments
sont des applications de U dans R :
J,
�
r �::
8fi
ôfi
l
ÔX 2
8 xn
8fp ôf p
8fp
8x1 8x 2
8 xn
On sera vigilant au fait que ce tableau n'est pas une matrice au sens défini en
première année < 32 > car les éléments de ce tableau sont des applications de U
dans R et l'ensemble des applications de U dans R n'est pas un corps.
De même, lorsque n = p par abus de langage on appelle jacobien d'une application f, le « déterminant » de la « matrice » jacobienne de f. Le jacobien de f
est ainsi une application de U dans R
o
Exemple L'application < 33 > f : (x1 , x 2 ) E R 2 1--+ (x1 cos(x 2 ), x1 sin(x 2 )) E R 2
est une application qui admet des dérivées partielles selon tous les vecteurs de
la base canonique de R 2 (voir p. 630) et pour (x1 , x 2 ) E R 2 on a
La matrice jacobienne de f en (x1 , x 2 ) E R 2 vaut
et le jacobien de f en (x1 , x 2 ) E R 2 qui est le déterminant de cette matrice
vaut :1 1 (x1 ,x 2 ) = x1 .