Calcul différentiel
Pour tout i E {1, . .. , n } on a lhi l � llhll=,IR" de sorte que
ll(dfa - dfx)(h) l l=,IR "
$'.: � jjô·J(a) _ ô·J(x) jj
Il ' Il
"' � •
•
= mu,.
1. oo , JR n
i=l
'
Cette inégalité étant vraie pour tout vecteur h E IR�, on en déduit que
n
635
0 � lllclfa - dfx l l ic(IR" , ilV' ) � L /l ôd(a) - ôd(x)j l00 ,IR1, .
(8)
i=l
Par hypothèse, les dérivées partielles étant continues sur U, pour tout a E U
on a
lim ôd(x) = ôd(a)
X-->a
ce qui implique que tous les termes de la somme dans le membre de droite de
l'inégalité (8) tendent vers 0 lorsque x tend vers a. Le théorème d'encadrement
permet d'affirmer que df x tend vers dfa lorsque x tend vers a ce qui prouve
que l'application df est continue en a pour tout a E U.
[::'.: Réciproquement, supposons que l'application f soit de classe C 1 sur U. L'application f étant différentiable sur U, les dérivées partielles selon tous les vecteurs de la base canonique (e1 , ... , e n ) de !R n existent en tout a EU. Il s'agit
de montrer que ces dérivées partielles sont continues sur U, c'est-à-dire que
pour tout a EU et pour tout i E {1, ... , n } on a
lim ôd(x) = ôd(a).
x-->a
Soient i E {1, . . . , n } et (a, x) E U 2 ; par définition de la dérivée partielle selon
le vecteur ei '· on a
ôd(a) - ôd(x) = clfa(ei) - dfx(ei) = (dfa - dfx)(ei) ·
On en déduit que
0 � jjâ d(a) - 8if(x)jj00 ,JRP � /l (dfa - dfx)(ei) lloo,JRP � l l ldfa - dfx 111.qJRn,JRv) ·
Comme l'application df est continue, la limite de llldfa-dfxlll.qJRn,JRv) lorsque x
tend vers a est nulle. Le théorème d'encadrement permet d'affirmer que ôd(x)
tend vers ôd(a) lorsque x tend vers a ce qui prouve que la i - ième dérivée
partielle de f est une application continue en a.
0
10.2.3 Matrice jacobienne
Il est commode, lorsque l'on est amené à manipuler les dérivées partielles d'une
fonction f de !R n dans JRP , d'introduire une matrice, appelée matrice jacobienne
de f, dont les éléments sont les dérivées partielles de f en un point.