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Différentiabilité en dimension finie
Exercice 10.6 L'espace vectoriel lR.2 (X] des polynômes de degré inférieur
ou égal à 2 est un espace vectoriel de dimension 3 que l'on peut munir de
la base B = {1, 1 + X, 1 + X 2 }. Calculer selon cette base les trois dérivées
partielles en Q = 1 + X 2 de l'application
f : lR.2 [X] � R 2 [X]
a + bX + cX 2 i--- --+ sin(ab)X - cos(c)X 2 .
L'intérêt des dérivées partielles est, comme on vient de le voir, de ramener le
calcul de différentielles au calcul de dérivées de fonctions d'une seule variable
réelle. Les dérivées partielles permettent aussi de caractériser les applications
de classe c i comme l'indique le théorème suivant.
THÉORÈME 10.2 Un e application d'un ouvert U de R n à valeurs dans JR.P
est de classe c i sur U si et seulement si elle admet des dérivées partielles par
rapport à tous les vecteurs d'une base de JR_ n qui sont continues sur U.
Démonstration i:'.:: Supposons que l'application f admette des dérivées partielles selon tous les vecteurs de la base canonique de R n et que ces dérivées
partielles soient continues sur U. D'après la proposition 10.9, pour tout a E U,
l'application
n
i=i
est la différentiellè dfa de l'application f en a. Afin de prouver que f est de
classe c i , nous allons montrer que l'application df : a E Ur-+ dfa ainsi définie
1 .
.
.
u
d .
al!
(3l)
est une app icat10n contmue sur , autrement it, nous ons montrer que
pour tout a E U on a
où
11/df _ df ///
_
l/ (dfa - dfx )(h) l/CX>,!RP
a
x .C(JRn,JRv) - sup
//h//
·
hean
ex:> IR_n
h.,tO
'
Pour tous (a, x) E U 2 et h E R n avec h =f. 0, on a
n
::::; L /hi/ ll ôd(a) - ôd(x) ll =,IR v ·
i=i
<3 1 ) Voir la définition 9.5 p. 546.