Calcul différentiel
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Exemple Considérons l'application f qui à toute matrice de M2(1R) associe
son polynôme caractéristique :
f : M2(1R) � IR2 [X]
M � det(Ivl - X I2).
Pour M = ( � �) E M2(1R) on a f (M) = X 2 - (a + d)X +(ad - be) . L'espace
vectoriel M2(1R) est un espace vectoriel de dimension 4. Choisissons pour base
de cet espace la famille composée des matrices suivantes :
Pour calculer les dérivées partielles de l'application f en I2 selon cette base, il
suffit de déterminer les limites des taux d'accroissement
f(I2 + t Ei i ) - f(h)
t
lorsque t tend vers zéro. Ainsi, la dérivée partielle selon le premier vecteur de
base est
âif (I2) = lim
f(I2 + t En ) - f (h)
t->0
t
= lim (X 2 - (2 + t)X + ( 1 + t)) - (X 2 - 2X + 1)
=
l _ X.
t->0
t
De la même manière, on obtient pour les autres dérivées partielles ( correspondant aux autres vecteurs de la base E 1 2 , E2 1 puis E22) : â2 f (I2) = Ô3f (I2) = 0
et Ô4f(I2) = 1 - X.
A l'aide de ces dérivées partielles, on peut < 30 > en utilisant la proposition 10.9
obtenir l'expression de la différentielle de l'application f en I2 : pour toute
matrice HE M2(1R) de composantes hij E lR on a
dfr2 (H) = âi f(I2) hn + â2 f(I2) hi2 + Ô3f(I2) h2 1 + Ô4f(I2) h22
= (1 - X)(h n + h22) = (1 - X) Tr (H) .
(Jo) Pour appliquer la proposition 10.9, il faut en toute rigueur commencer par établir que
l'application f est différentiable. Nous verrons avec le théorème 10.2 que la propriété de
différentiabilité d'une application peut être obtenue à l'aide des dérivées partielles.