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Séries semi-convergentes
Calcul du produit de Cauchy de deux séries avec MAPLE
Il existe une bibliothèque de MAPLE dédiée au calcul avec les séries. Il s'agit
de la bibliothèque powseries. Pour illustrer l'utilisation de cette bibliothèque,
vérifions le résultat du calcul du produit de la série L n Un de terme général
Un = 1/n! par elle-même effectué dans l'exemple précédent. La commande
powcreate est utilisée pour définir le terme général de la série ; la commande
multiply pour effectuer le produit de Cauchy de deux séries.
> with (powseries):
> powcreate (u(n) =1/n! ,u(0)=1) :
> w:=multiply (u ,u) :
> seq(w(n) ,n=O .. 10) ;
42 44 8 2 4
4
122--------­ , ' ' 3 ' 3 ' 15' 45 ' 315' 315' 2835 ' 14175
> seq (2-n/n ! ,n=O .. 10) ;
42 44 8 2 4
4
l, 2 ' 2 ' 3' 3' 15 ' 45 ' 315' 315' 2835 ' 14175
Notre résultat semble conforme à celui obtenu par MAPLE.
1.4 Séries semi-convergentes
Comme cela a été indiqué à la section 1.3, pour étudier la nature d'une série
numérique L n Un dont les termes ne sont pas de signe constant, il convient
dans un premier temps de s'intéresser à la série numérique L n lunl · Cette série
est à termes positifs et les critères pour les séries à termes positifs permettent
d'en étudier la nature. Nous avons montré que si la série L n lunl convergeait
alors la série L n Un convergeait aussi mais que si la série L n lunl divergeait
aucune conclusion n'était possible sur la nature de la série L n Un. Dans cette
section nous allons présenter des résultats permettant d'étudier la nature des
séries non absolument convergentes.
1.4.1 Définition
DÉFINITION 1.8 Une série est dite semi-convergente si elle est convergente
sans étre absolument convergente.
Exemple La série harmonique alternée L n >-t (-lr /n est une série qui est
semi-convergente. Elle converge et sa somme ;,;_ut - ln(2) mais elle ne converge
pas absolument car 1(-lr /ni = 1/n et la série harmonique L n � 1 1/n diverge.