Séries numériques
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Exemple Nous avons établi p. 6 que la série de terme général Un = (-l) n /fo
était convergente. Déterminons la série L n Wn produit de L n;;.i Un par ellemême. On pose uo = 0 de sorte que pour tout n E N* :
n
n - l
Wn = L U k Un - k = (-l) n L
l
k=O
k=l Jk(n - k)
L'étude de la fonction x 1-t (x(n - x)) - � montre que les n termes de la somme
S "' n - l 1
t t
, ·
,
1 0 d S -... ..
1 1
n = L., k - l �- son ous supeneurs a - 2 . n a one n :::: :- n x - 2
= - 2 .
- yk\ n - k)
n
.
n
On en déduit que la suite (Sn)n ne converge pas vers 0 et par conséquent que
la série de terme général Wn diverge grossièrement.
Le résultat suivant, que nous admettrons, donne une condition suffisante pour
que le produit de deux séries convergentes soit une série convergente.
PROPOSITION 1.14 Si L n Un et L n Vn sont deux séries numériques absolument convergentes alors la série L n Wn produit de L n Un et de L n Vn est
absolument convergente. De plus,
Exemples
1. La série L n 1/n! est une série absolument convergente dont la somme est e.
Le produit de cette série avec elle-même a pour terme général :
n
1
1 n
2 n
Wn = L k l ( - k) l=I LC�= ,- .
k=O · n
· n. k=O
n.
On déduit de la proposition 1.14 que la série L n �� est absolument convergente
et de somme e 2 •
2. Pour tout z E C avec jzj < 1 la série géométrique de raison z est absolument
convergente de somme 1/(1 - z). Le produit de cette série avec elle-même a
pour terme général
n
Wn = L z k z n - k = (n + l)z n .
k=O
On déduit de la proposition 1.14 que la série L n (n + l)z n est absolument
convergente et de somme 1/(1 - z) 2 •
Remarque On a également le résultat suivant : si L n Un est une série numérique convergente et L n Vn est une série numérique absolument convergente
alors la série L n Wn produit de L n Un et L n Vn est convergente.
o