Séries numériques
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Deux types de séries semi-convergentes sont fréquemment utilisées dans la pratique : les séries alternées et les séries trigonométriques. Nous allons étudier ces
deux types de séries et donner des critères permettant d'établir leur convergence. Les résultats pour la semi-convergence de ces séries sont des cas particuliers d'un résultat plus général connu sous le nom de règle d'Abel.
1.4.2 Séries alternées
DÉFINITION 1.9 On appelle série alternée une série numérique dont le terme
général est de la forme (-Iran ou (-l) n +l an, où (an)n désigne une suite
de réels positifs .
Une série alternée E n Un est donc une série dont les termes Un changent de
signe une fois sur deux :
1. ou bien la sous-suite (u 2 n)n est positive et la sous-suite (u 2 n + i)n est négative ;
2. ou bien la sous-suite ( u 2 n)n est négative et la sous-suite ( U 2 n + i )n est positive.
Remarques
1. Si la suite (an)n ne tend pas vers 0, les séries alternées E n (-l) n an et
E n ( -l) n +l an divergent grossièrement.
2. On a E n (-1) n +1 an = - E n (-l) n an ; d'après la proposition 1.3 les deux
séries E n (-Iran et L n (-I) n +l an sont de même nature (et dans le cas où
elles convergent leur somme est opposée). Nous nous contenterons dans ce qui
suit de l'étude des propriétés de la série L n ( -l) n an avec ( Œn)n positive. o
Exemples
1. La série E n ;;:: i (-l) n /n est une série alternée, ce qui justifie son nom de série
harmonique alternée.
2. La série L n ;;:: i Un de terme général Un = 1- V 1 + (-� ) n est une série alternée.
Pour tout k E N*, on a
=
On a donc
R fIJ? k+l
1 -
= 1 - -- <0
2k
'
1 - J1 - - 1 - = 1 - J 2k > o .
2k + 1
2k + 1
si n est pair
si n est impair
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Deux types de séries semi-convergentes sont fréquemment utilisées dans la pratique : les séries alternées et les séries trigonométriques. Nous allons étudier ces
deux types de séries et donner des critères permettant d'établir leur convergence. Les résultats pour la semi-convergence de ces séries sont des cas particuliers d'un résultat plus général connu sous le nom de règle d'Abel.
1.4.2 Séries alternées
DÉFINITION 1.9 On appelle série alternée une série numérique dont le terme
général est de la forme (-Iran ou (-l) n +l an, où (an)n désigne une suite
de réels positifs .
Une série alternée E n Un est donc une série dont les termes Un changent de
signe une fois sur deux :
1. ou bien la sous-suite (u 2 n)n est positive et la sous-suite (u 2 n + i)n est négative ;
2. ou bien la sous-suite ( u 2 n)n est négative et la sous-suite ( U 2 n + i )n est positive.
Remarques
1. Si la suite (an)n ne tend pas vers 0, les séries alternées E n (-l) n an et
E n ( -l) n +l an divergent grossièrement.
2. On a E n (-1) n +1 an = - E n (-l) n an ; d'après la proposition 1.3 les deux
séries E n (-Iran et L n (-I) n +l an sont de même nature (et dans le cas où
elles convergent leur somme est opposée). Nous nous contenterons dans ce qui
suit de l'étude des propriétés de la série L n ( -l) n an avec ( Œn)n positive. o
Exemples
1. La série E n ;;:: i (-l) n /n est une série alternée, ce qui justifie son nom de série
harmonique alternée.
2. La série L n ;;:: i Un de terme général Un = 1- V 1 + (-� ) n est une série alternée.
Pour tout k E N*, on a
=
On a donc
R fIJ? k+l
1 -
= 1 - -- <0
2k
'
1 - J1 - - 1 - = 1 - J 2k > o .
2k + 1
2k + 1
si n est pair
si n est impair