Calcul différentiel
10.2 Différentiabilité en dimension finie
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Dans le chapitre 9, nous avons vu que pour des applications entre espaces vectoriels de dimension finie un certain nombre de notions prenaient une forme simplifiée par rapport au cadre général. C'est également le cas en ce qui concerne
les résultats liés à la différentiabilité. Moyennant le choix d'une base, un espace
vectoriel réel de dimension finie n E N* peut être identifié à l'espace vectoriel lR n .
10.2.1 Dérivation selon un vecteur
DÉFINITION 10.5 (Dérivée directionnelle)
Soient f une application définie sur un ouvert U de lR n à valeurs dans JRP et
v E lR n un vecteur non nul. On dit que l'application f est dérivable en a E U
selon le vecteur v (ou dans ta direction du vecteur v) si
lim
f (a + tv) - f(a)
existe.
t->O
t
Cette limite est notée dvfa·
Remarques
1. L'existence de la dérivée directionnelle ne dépend pas du vecteur mais uniquement de sa direction. En effet, si f est dérivable en a selon un vecteur
v E ]R n \ {O} alors f est aussi dérivable en a selon tous les vecteurs de la
forme Àv, À E IR* puisque
lim f(a + t>. v) - f(a) =
À
lim f(a + s v) - f(a) .
t->O
t
s->0
S
Plus exactement cette égalité indique que si l'application f est dérivable en
a E U selon le vecteur v aiors
2. Lorsque n = 1 on a seulement deux directions correspondant aux valeurs
v = 1 et v = - 1. Une application f définie sur un intervalle ouvert I de IR, à
valeurs dans JRP , est dérivable en a E I selon v = 1 si
1. f(a + t) - f(a)
im
existe,
t-o
t
et elle est dérivable en a E I selon v = - 1 si
lim
f(a - t) - f(a)
= _ lim f(a + s) - f(a)
t->0
t
s->O
S
existe.
Autrement dit, dans le cas où n = 1, il y a équivalence entre «dérivable » et
« dérivable selon un vecteur ».