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Différentiabilité en dimension finie
3. D'après le théorème 7.2, en dimension finie toutes les normes sont équivalentes et en conséquence l'existence d'une limite est indépendante de la norme
choisie. Ainsi, en dimension finie, l'existence d'une dérivée directionnelle est
elle aussi indépendante du choix de la norme.
o
Exemple Considérons l'application f: (x1 , x 2 ) E R 2 f-+ xf-2x1x 2 +1 sin(x 2 ) I
et le vecteur v1 = (2, 1). Pour déterminer si cette application est dérivable selon
le vecteur v1 en (0, 0) , on forme pour t ER* le taux d'accroissement suivant :
f (0 + 2t, 0 + t) - f (0, 0) 1 sin(t)I
--t
t
Puisque cette quantité n'a pas de limite lorsque t tend vers 0, l'application f
n'est pas dérivable en (0, 0) selon le vecteur v1 . Par contre, f est dérivable
selon le vecteur v 2 = (1, 0) en (0, 0) puisque le taux d'accroissement en (0, 0)
qui vaut
J(O + t, 0) - f (0, 0) = t
t
admet pour limite 0 lorsque t tend vers O. L'application f est dérivable en (0, 0)
dans la direction v 2 = (1, 0) et on a dv2 fc o , o ) =O.
Exercice 10.3
1 - Montrer que l'application f : (x1 , x 2 ) E R 2 f-+ sin(x1 + x 2 ) E R est
dérivable selon les deux vecteurs v1 =(- 1, 1) et v 2 = (1, 1) en tout a E R 2
et calculer dvJa et dv 2 fa·
2 - Soient g une application de R dans R dérivable sur R et f l'application
f : (x1 , x 2 ) E R 2 f-+ g(x1 + x 2 ). Déterminer les dérivées de f dans toutes les
directions v ER: et en tout a E R 2 .
THÉORÈME 10.1 Soit f une application définie sur un ouvert U de R n à
valeurs dans RP . Si l'app lication f est différentiable en a E U alors elle admet
en a une dérivée selon tout vecteur v E R n \ {O} et on a dvfa = dfa(v).
Démonstration Puisque f est différentiable en a, pour x dans un voisinage
de a, on a
f (x) = f (a) + df a(x - a) + ll x - a il t:(x) avec lim c(x) = 0,
X->8
où df a désigne la différentielle de f en a. Considérons des éléments x de U
de la forme x = a + tv où t est un réel appartenant à un voisinage de O. En
notant € la fonction t ER f-+ t:(a + tv) la relation précédente devient
f(a + tv) = f(a) + t dfa(v) + l t l ll v ll €(t) avec lim €(t) = O.
t->0
Différentiabilité en dimension finie
3. D'après le théorème 7.2, en dimension finie toutes les normes sont équivalentes et en conséquence l'existence d'une limite est indépendante de la norme
choisie. Ainsi, en dimension finie, l'existence d'une dérivée directionnelle est
elle aussi indépendante du choix de la norme.
o
Exemple Considérons l'application f: (x1 , x 2 ) E R 2 f-+ xf-2x1x 2 +1 sin(x 2 ) I
et le vecteur v1 = (2, 1). Pour déterminer si cette application est dérivable selon
le vecteur v1 en (0, 0) , on forme pour t ER* le taux d'accroissement suivant :
f (0 + 2t, 0 + t) - f (0, 0) 1 sin(t)I
--t
t
Puisque cette quantité n'a pas de limite lorsque t tend vers 0, l'application f
n'est pas dérivable en (0, 0) selon le vecteur v1 . Par contre, f est dérivable
selon le vecteur v 2 = (1, 0) en (0, 0) puisque le taux d'accroissement en (0, 0)
qui vaut
J(O + t, 0) - f (0, 0) = t
t
admet pour limite 0 lorsque t tend vers O. L'application f est dérivable en (0, 0)
dans la direction v 2 = (1, 0) et on a dv2 fc o , o ) =O.
Exercice 10.3
1 - Montrer que l'application f : (x1 , x 2 ) E R 2 f-+ sin(x1 + x 2 ) E R est
dérivable selon les deux vecteurs v1 =(- 1, 1) et v 2 = (1, 1) en tout a E R 2
et calculer dvJa et dv 2 fa·
2 - Soient g une application de R dans R dérivable sur R et f l'application
f : (x1 , x 2 ) E R 2 f-+ g(x1 + x 2 ). Déterminer les dérivées de f dans toutes les
directions v ER: et en tout a E R 2 .
THÉORÈME 10.1 Soit f une application définie sur un ouvert U de R n à
valeurs dans RP . Si l'app lication f est différentiable en a E U alors elle admet
en a une dérivée selon tout vecteur v E R n \ {O} et on a dvfa = dfa(v).
Démonstration Puisque f est différentiable en a, pour x dans un voisinage
de a, on a
f (x) = f (a) + df a(x - a) + ll x - a il t:(x) avec lim c(x) = 0,
X->8
où df a désigne la différentielle de f en a. Considérons des éléments x de U
de la forme x = a + tv où t est un réel appartenant à un voisinage de O. En
notant € la fonction t ER f-+ t:(a + tv) la relation précédente devient
f(a + tv) = f(a) + t dfa(v) + l t l ll v ll €(t) avec lim €(t) = O.
t->0