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Différentiabilité dans un espace vectoriel
Application à la mécanique des milieux continus
En mécanique des milieux continus, on appelle loi de comportement, une relation qui exprime la contrainte exercée sur une particule en fonction du mouvement passé et des changements d'état que la particule a subis. Les lois de
comportement les plus simples se traduisent par une expression mathématique
de la contrainte représentée par une matrice symétrique S E S3 (JR.) en fonction
du taux de déformation D E S3 (IR.). Elle est suggérée par des essais expérimentaux sur le milieu qu'on étudie.
Pour un fluide polymère comme du blanc d'œuf ou du dentifrice, une loi de
comportement parfois utilisée pour relier la contrainte S à la déformation D est
S = µ Tr (D 2 ) D où µ E R
(6)
Pour calculer la différentielle de l'application f : D E S3 (IR.) t-+ S E S3 (1R.) ainsi
définie, on forme le taux d'accroissement, pour tout H E S3 (IR.) :
f(D + H) = µ Tr((D + H) 2 ) (D + H)
= f (D) + µ Tr (D 2 ) H + 2µ Tr(DH) D + µ Tr (H 2 ) (D + H) + 2µ Tr (DH) H .
linéaire en H
=Oo (llH ll)
On obtient :
dfo : HE S3 (1R.) f--- -+ 2µ Tr(DH) D + µ Tr(D 2 ) H.
Si on soumet l'écoulement de fluide à un cisaillement (entre deux plaques parallèles distantes d'une longueur Let dont la vitesse relative est V) , le taux de
déformation Do est donné par
(0 a 0)
Do = a 0 0
0 0 0
,
V
ou a = L
.
La relation (6) indique que la contrainte associée à un tel écoulement est
f (Do ) = 2µa 2 Do.
Supposons qu'on souhaite déterminer la contrainte S lorsque le fluide est soumis
à un écoulement proche d'un cisaillement, c'est-à-dire à un écoulement dont le
taux de déformation est de la forme D =D o+ H avec H = (hi,J) ( i,j )E{l , 2 ,3 } 2
modélisant une petite déformation. D'après la définition 10.1, on a la relation
f(Do + H) = 2µa 2 Do + 2µTr(DoH)Do + µTr(D�)H + oo ( ll H ll).
Comme Tr (DoH) = 2ah2,1 et Tr(D�) = 2a 2 , la perturbation (en première
approximation) qu'entraîne la déformation H sur la contrainte est égale à