Calcul différentiel
625
Dans de nombreuses situations physiques, la force F « dérive » d'un potentiel,
c'est-à-dire qu'il existe une application V de JR 3 dans JR, différentiable, telle que
'v' (x, y) E JR 3
x JR 3 F(x) ·y= -m dVx(y).
L'énergie totale du «système » est alors introduite de la façon suivante :
E(x, v) = � llvll 2 + V(x).
Par exemple, la force de gravité dérive du potentiel V : (xi , x2 , x 3 ) E JR 3 t-t gx3
et l'énergie associée est E((x1, x 2 , X 3 ) , v) = �mllvll 2 + g X3 .
L'introduction des applications différentiables, et en particulier de la proposition 10.6, permet d'établir le principe suivant.
L'énergie totale d'un système soumis à une force dérivant d'un potentiel est
conservée le long des trajectoires.
Démonstration Considérons un système soumis à une force F qui dérive d'un
potentiel V. Prouver que l'énergie totale est conservée le long des trajectoires
revient à montrer que l'application composée E o X : t E lR t-t E(X(t)) E lR est
une application constante. Puisque l'application E o X est une fonction réelle
de la variable réelle qui est continue, il suffit de prouver que sa dérivée < 28 > est
nulle.
La formule de différentiation des applications composées (voir la proposition 10.6)
indique que pour tout t E lR on a
(E o X)' (t) = dEx (t) (X' (t)) = dEx (t) (f(X(t)))
= dE ( x(t),v (t)) (v(t), F(x(t)) ) .
(5)
L'application E : (x, v) E JR 3 x JR 3 t-t W llvl l 2 + V ( x) E lR étant la somme
d'une forme quadratique et de l'application (x, v) t-t V(x) , sa différentielle en
(x, v) E JR 3 x JR 3 vaut
dE ( x,v ) : (y, w) E 1R 3
X JR 3 1--- -- --t mv · w + m dVx(y) .
Étant donné que la force F dérive du potentiel V, on a dVx(y) = -mF(x) ·y
et on déduit de la relation (5) que :
(E o X)' (t) = mv(t) · F(x(t)) - mF(x(t)) · v(t) =O.
L'application E o X est donc à dérivée nulle, ce qui permet de conclure à la
conservation de l'énergie le long des trajectoires.
0
< 28 > On peut montrer que si l'application F est de classe C 1 alors la solution de l'équation
X'(t) = /(X{t)) sera aussi de classe C 1 , ainsi l'application E o X est dérivable.
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Dans de nombreuses situations physiques, la force F « dérive » d'un potentiel,
c'est-à-dire qu'il existe une application V de JR 3 dans JR, différentiable, telle que
'v' (x, y) E JR 3
x JR 3 F(x) ·y= -m dVx(y).
L'énergie totale du «système » est alors introduite de la façon suivante :
E(x, v) = � llvll 2 + V(x).
Par exemple, la force de gravité dérive du potentiel V : (xi , x2 , x 3 ) E JR 3 t-t gx3
et l'énergie associée est E((x1, x 2 , X 3 ) , v) = �mllvll 2 + g X3 .
L'introduction des applications différentiables, et en particulier de la proposition 10.6, permet d'établir le principe suivant.
L'énergie totale d'un système soumis à une force dérivant d'un potentiel est
conservée le long des trajectoires.
Démonstration Considérons un système soumis à une force F qui dérive d'un
potentiel V. Prouver que l'énergie totale est conservée le long des trajectoires
revient à montrer que l'application composée E o X : t E lR t-t E(X(t)) E lR est
une application constante. Puisque l'application E o X est une fonction réelle
de la variable réelle qui est continue, il suffit de prouver que sa dérivée < 28 > est
nulle.
La formule de différentiation des applications composées (voir la proposition 10.6)
indique que pour tout t E lR on a
(E o X)' (t) = dEx (t) (X' (t)) = dEx (t) (f(X(t)))
= dE ( x(t),v (t)) (v(t), F(x(t)) ) .
(5)
L'application E : (x, v) E JR 3 x JR 3 t-t W llvl l 2 + V ( x) E lR étant la somme
d'une forme quadratique et de l'application (x, v) t-t V(x) , sa différentielle en
(x, v) E JR 3 x JR 3 vaut
dE ( x,v ) : (y, w) E 1R 3
X JR 3 1--- -- --t mv · w + m dVx(y) .
Étant donné que la force F dérive du potentiel V, on a dVx(y) = -mF(x) ·y
et on déduit de la relation (5) que :
(E o X)' (t) = mv(t) · F(x(t)) - mF(x(t)) · v(t) =O.
L'application E o X est donc à dérivée nulle, ce qui permet de conclure à la
conservation de l'énergie le long des trajectoires.
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< 28 > On peut montrer que si l'application F est de classe C 1 alors la solution de l'équation
X'(t) = /(X{t)) sera aussi de classe C 1 , ainsi l'application E o X est dérivable.